[論文レビュー] Stochastic differential equations driven by G-Brownian motion and ordinary differential equations

Peng Luo, Falei Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Gブラウン運動に駆動される確率微分方程式（SDE）を、サンプルパス解析を用いてパラメータ化された常微分方程式（ODE）に還元する新しい手法を確立する。G確率的微積分を活用することで、著者らはG-SDEの解がGブラウン運動と有界変動過程の関数として表現できることを証明し、古典的ODE理論の適用を可能にし、G-SDEに対して必要な十分条件を伴う新しい比較定理を導出する。

ABSTRACT

In this paper, we show that the integration of a stochastic differential equations driven by G-Brownian motion in R can be reduced to the integration of an ordinary differential equations parametrized by a variable in (Ω,F). We study the sample solutions of G-SDEs by an extention of G-Itô formula. And then we also get a comparison theorem for G-SDEs and its applications.

研究の動機と目的

• Gフレームワーク下でのサンプル解の分析を通じて、G-SDEとODEとの間の関係を確立すること。
• G確率的微積分技法を用いて、サンプル解が空間 $ M^{2}_{G}(0,T) $ に属することを示す課題を克服すること。
• G-SDEに対する比較定理を導出し、その有効性に必要な十分条件を特定すること。
• G-SDEの解析に古典的ODE結果を適用可能な理論的かつ計算的フレームワークを提供すること。

提案手法

• サンプルパス分解を用いて、G-SDEの解をGブラウン運動と有界変動過程の関数として表現する。
• G確率的微積分を用いて、サンプル解が $ M^{2}_{G}(0,T) $ に属することを証明し、可積分性と適切に定義された性質を保証する。
• G-伊藤の公式を適用して解のパスごとのダイナミクスを導出し、SDEを $ \omega \in \Omega $ にインデックスされたODEの族に還元する。
• G正規分布と非線形期待値構造を活用して、SDEダイナミクスにおけるモデル不確実性を扱う。
• ODEパラメータ化の分析を通じて比較結果を確立し、ドリフト項と拡散係数に対する十分条件を導出する。
• 既存のODE理論（例：存在・一意性、比較）を活用して、G-SDE解の性質を推論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G-SDEの解は、$ \Omega $ 内のサンプルパスにインデックスされたODEの族として表現可能か？
• RQ2 G-SDEのサンプル解が空間 $ M^{2}_{G}(0,T) $ に属する条件は何か？
• RQ3 G-SDEに対して比較定理が成り立つための必要十分条件は何か？
• RQ4 モデル不確実性下で、古典的ODE理論をG-SDEの解析にどのように適用できるか？
• RQ5 G-SDEのダイナミクスは、Gブラウン運動と有界変動過程に分解可能であり、解析を簡素化できるか？

主な発見

• G-SDEの解は、Gブラウン運動と有界変動過程の関数として表現可能であり、各サンプルパス上でODEに還元可能である。
• G-SDEのサンプル解は $ M^{2}_{G}(0,T) $ に属するが、これは高度なG確率的微積分技法を用いて確立された。
• G-SDEに対して新しい比較定理が導出され、ドリフト項と拡散係数に依存する必要十分条件が提示された。
• パスワイズ支配性のための十分条件である $ b^1(x) - b^2(x) + 2G(h^1(x) - h^2(x)) \leq 0 $ が示されたが、これは必要条件ではない。
• 漸近的パスワイズバウンドが得られた：係数の有界性仮定の下で、q.s. $ \omega $ に対して $ |X_t| \leq C|B_t| + C\int_0^t e^{C|B_s|}ds + |X_0| $ が成り立つ。
• 本手法により、G-SDEの解析に古典的ODE理論の結果を直接適用可能となり、理論的および計算的解析が著しく簡素化された。