[論文レビュー] Stochastic Dynamical Structure (SDS) of Nonequilibrium Processes in the Absence of Detailed Balance. III: potential function in local stochastic dynamics and in steady state of Boltzmann-Gibbs type distribution function

Ping Ao|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2008

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 13被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、詳細つり合いのない非平衡確率過程において、動的ポテンシャル関数の存在を示し、漂移を勾配成分と反対称成分に分離する新規な確率微分方程式の定式化を用いる。漂移力の零点と定常分布極値の間のノイズ誘発シフトを初めて解析的に導出する公式を確立し、非平衡統計力学における長年の曖昧さを解消し、制限的な仮定を排除することで先行研究を一般化する。

ABSTRACT

From a logic point of view this is the third in the series to solve the problem of absence of detailed balance. This paper will be denoted as SDS III. The existence of a dynamical potential with both local and global meanings in general nonequilibrium processes has been controversial. Following an earlier explicit construction by one of us (Ao, J. Phys. {\bf A37}, L25 '04, arXiv:0803.4356, referred to as SDS II), in the present paper we show rigorously its existence for a generic class of situations in physical and biological sciences. The local dynamical meaning of this potential function is demonstrated via a special stochastic differential equation and its global steady-state meaning via a novel and explicit form of Fokker-Planck equation, the zero mass limit. We also give a procedure to obtain the special stochastic differential equation for any given Fokker-Planck equation. No detailed balance condition is required in our demonstration. For the first time we obtain here a formula to describe the noise induced shift in drift force comparing to the steady state distribution, a phenomenon extensively observed in numerical studies. The comparison to two well known stochastic integration methods, Ito and Stratonovich, are made ready. Such comparison was made elsewhere (Ao, Phys. Life Rev. {\bf 2} (2005) 117. q-bio/0605020).

研究の動機と目的

• 詳細つり合いが成立しない非平衡過程において、局所的および大域的意味を併せ持つ動的ポテンシャル関数の存在を厳密に確立すること。
• このような系において、ポテンシャル関数が局所的ダイナミクスと大域的定常状態行動の両方を一貫して記述できるかどうかという論争を解決すること。
• 任意の与えられたフォッカー＝プランク方程式から、対応する確率微分方程式にポテンシャル関数を関連付ける明示的な構成手順を提示すること。
• 漂移力の零点と定常分布極値の間のシフトを定量的に記述する公式を導出すること。これは数値的に観察されていたが、これまで解析的取り扱いがなかった現象である。

提案手法

• 漂移力をポテンシャルの勾配と反対称的横方向成分に分解する特別な確率微分方程式（式(3)）を導入する。
• φ(q) = -M(q)f(q) によりポテンシャル関数 φ(q) を定義し、ここで M(q) = [D(q) + Q(q)]⁻¹ であり、Q(q) は f(q) と D(q) から導出される。
• ゼロ質量極限における新規なフォッカー＝プランク方程式を導出し、定常分布が exp(-φ(q)/ε) に比例することを明示的に示す。
• 任意の与えられたフォッカー＝プランク方程式から、適切な M(q)、S(q)、T(q) 行列を特定することで、確率微分方程式を再構成する手順を確立する。
• イトおよびストラトニビッチ積分規約を用いて、ノイズが漂移力のシフトに果たす役割を比較・明確化する。
• 反対称行列 Q(q) が漂移力の零点とポテンシャル極値の間のシフトを支配しており、∇Q = 0 などの追加制約が不要であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 詳細つり合いが成立しない一般の非平衡過程において、動的ポテンシャル関数が存在しうるか？
• RQ2 与えられたフォッカー＝プランク方程式から、定常分布がボルツマン＝ギブズ形（ポテンシャル関数を用いて記述）となるような確率微分方程式を体系的に構成する方法は存在するか？
• RQ3 漂移力の零点と定常分布極値の間のノイズ誘発的シフトの解析的起源は何か？
• RQ4 f(q) と D(q) から導出される反対称行列 Q(q) は、局所的ダイナミクスと大域的定常状態行動の関係にどのように影響を与えるか？
• RQ5 ∇Q = 0 やその他の制限的条件を仮定せずに、局所的ダイナミクス（式(3)）と大域的定常状態行動（フォッカー＝プランク方程式）の間の関係を厳密に確立できるか？

主な発見

• 本稿は、詳細つり合いが成立しない状況において、局所的ダイナミクス（式(3)）と大域的定常状態行動（式(7)）の両方を同時に記述する動的ポテンシャル関数 φ(q) の存在を証明する。
• 漂移力の零点と定常分布極値の間のノイズ誘発的シフトを初めて解析的に導出する公式を導出する：Δf̄ = -ε(∇ₐₜₜₐQ(q))ᵀ、式(44)。
• このシフトは、反対称行列 Q(q) の勾配に起因し、これは確定的力 f(q) と拡散行列 D(q) に依存する。D(q) が状態に依存しないかどうかにかかわらず、シフトは生じる。
• 先行研究（例：Eyink）で必要とされた制限的条件 ∇Q = 0 を必要としないため、従来の結果を一般化する。
• D(q) が定数（すなわち、イトとストラトニビッチの取り扱いが一致する）であっても、Q(q) が状態に依存する限り、シフトが生じ得ることを示し、ノイズ誘発的分岐の数値的観察を説明する。
• 定常分布極値と脱出率ダイナミクスの特異点の間の矛盾を解消するため、両者を区別することで、シフトが確率積分と横方向ダイナミクスの直接的結果であることを示す。