[論文レビュー] Stochastic epidemics in a homogeneous community

Tom Britton, Étienne Pardoux|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2018

COVID-19 epidemiological studies参考文献 4被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、マーカフィアンおよび非マーカフィアンダイナミクスを伴う均質的集団における確率的エピデミックモデルを発展させ、SEIRフレームワークに焦点を当てる。分枝過程、拡散近似、大偏差理論を用いて、最終的感染規模、絶滅時刻、臨界コミュニティサイズに関する主要な結果を導出。感染期間のばらつきが最終的感染規模の分散を顕著に増大させることを示し、予防接種がエンドミックな持続に必要な臨界集団サイズを低減することを明らかにする。

ABSTRACT

These notes describe stochastic epidemics in a homogenous community. Our main concern is stochastic compartmental models (i.e. models where each individual belongs to a compartment, which stands for its status regarding the epidemic under study : S for susceptible, E for exposed, I for infectious, R for recovered) for the spread of an infectious disease. In the present notes we restrict ourselves to homogeneously mixed communities. We present our general model and study the early stage of the epidemic in chapter 1. Chapter 2 studies the particular case of Markov models, especially in the asymptotic of a large population, which leads to a law of large numbers and a central limit theorem. Chapter 3 considers the case of a closed population, and describes the final size of the epidemic (i.e. the total number of individuals who ever get infected). Chapter 4 considers models with a constant influx of susceptibles (either by birth, immigration of loss of immunity of recovered individuals), and exploits the CLT and Large Deviations to study how long it takes for the stochastic disturbances to stop an endemic situation which is stable for the deterministic epidemic model. The document ends with an Appendix which presents several mathematical notions which are used in these notes, as well as solutions to many of the exercises which are proposed in the various chapters.

研究の動機と目的

• ランダムな感染期間と潜伏期間を伴うSEIRモデルを用いて、閉鎖的・均質的集団における確率的エピデミックダイナミクスを分析すること。
• 特に小規模なアウトブレイクにおいて、最終的感染規模の分布を分枝過程近似を用いて導出すること。
• 予防接種が基本再生産数とエンドミック持続に必要な臨界コミュニティサイズに与える影響を調査すること。
• 大偏差理論と拡散近似を用いて、人口動態を伴うオープンモデルにおける長期的挙動を分析し、絶滅までの時間を推定すること。
• 感染期間のばらつき（例：指数分布 vs. 固定値）が最終的感染規模の分散および臨界コミュニティサイズに与える影響を定量化すること。

提案手法

• ポisson分布に従う感染接触と、独立同一分布に従う潜伏期間および感染期間を伴う確率的SEIRモデルを用いる。
• 初期エピデミック拡大の分析および大規模アウトブレイクの確率の計算に、分枝過程近似を適用する。
• 小規模コミュニティにおける有限集団の最終的感染規模分布の正確な導出に、Sellke構成を用いる。
• 大規模集団における最終的感染規模に対して、大数の法則（LLN）および中心極限定理（CLT）を適用し、極限平均および分散を導出する。
• 確率的微分方程式（SDE）による拡散近似を用いて、決定的エピデミック曲線の周囲のガウス的フラクチュエーションをモデル化する。
• 大偏差理論およびレート関数を用いて、人口動態を伴うオープンモデルにおける絶滅までの時間を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉鎖的集団における最終的感染規模の分布は何か、特に小規模なアウトブレイクの場合にどうなるか？
• RQ2 感染期間のばらつき（例：指数分布 vs. 固定値）が最終的感染規模の分散に与える影響は何か？
• RQ3 エンドミックな持続に必要な臨界コミュニティサイズは何か？ また、予防接種および感染期間分布の影響は何か？
• RQ4 オープンモデルにおけるエンドミック疾病の絶滅までの時間は、集団サイズおよび伝播パラメータとどのようにスケーリングされるか？
• RQ5 予防接種は有効再生産数および疾病持続に必要な臨界コミュニティサイズにどのような影響を与えるか？

主な発見

• $ R_0 = 1.5 $ の場合、極限平均の最終的感染規模は583人であり、Reed–Frostモデル（感染期間が固定）では標準偏差が41.7、Markovian SIRモデル（感染期間が指数分布）では58.0である。
• 感染期間が固定から指数分布に変わると、最終的感染規模の分散は約50％増加し、これはより高い変動係数に起因する。
• 感染期間を2倍にした場合、$ R_0 $ を一定に保ったまま、臨界コミュニティサイズ $ N_c $ は4分の1に減少するが、$ R_0 $ を2倍にした場合、$ N_c $ は約2分の1にしか減少しない。
• 予防接種により有効再生産数は $ R_v = R_0(1 - v) $ に低下し、未接種者に対する臨界コミュニティサイズは $ N_c^{(unvacc)} \to \frac{9}{\rho^2 (1 - 1/R_v)^2 R_v} $ にスケーリングする。ここで $ \rho $ は相対的感染期間を表す。
• 全集団（接種済み者を含む）の臨界コミュニティサイズは、予防接種率 $ v $ とともに急激に増加する。これは、麻疹のような疾患が高頻度の予防接種状況ではもはやエンドミックでない理由を説明する。
• 決定的エピデミック曲線の周囲のガウス的フラクチュエーションの共分散行列を明示的に導出し、$ R_0 $ および $ \rho $ に依存することを示した。また、ドリフト行列の固有値の実部は $ \varepsilon < 4/R_0 $ の下で負である。