[論文レビュー] Stochastic Exponential Integrators for a Finite Element Discretization of SPDEs

Gabriel J. Lord, Antoine Tambue|arXiv (Cornell University)|May 28, 2010

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、加法的空間時間ノイズを伴う半線形放物型SPDEの有限要素離散化に対して、ノイズの線形関数型とKrylovまたはLéja法による行列指数関数の計算を活用した確率的指数関数的積分法を提案する。標準的手法と比較して、$L^2$および$H^1$ノルムにおける平均二乗誤差の高次収束性を証明し、多孔質媒体における線形および非線形の対流拡散反応問題において、効率的で高精度な性能を示している。

ABSTRACT

We consider the numerical approximation of general semilinear parabolic stochastic partial differential equations (SPDEs) driven by additive space-time noise. In contrast to the standard time stepping methods which uses basic increments of the noise and the approximation of the exponential function by a rational fraction, we introduce a new scheme, designed for finite elements, finite volumes or finite differences space discretization, similar to the schemes in \cite{Jentzen3,Jentzen4} for spectral methods and \cite{GTambue} for finite element methods. We use the projection operator, the smoothing effect of the positive definite self-adjoint operator and linear functionals of the noise in Fourier space to obtain higher order approximations. We consider noise that is white in time and either in $H^1$ or $H^2$ in space and give convergence proofs in the mean square $L^{2}$ norm for a diffusion reaction equation and in mean square $ H^{1}$ norm in the presence of an advection term. For the exponential integrator we rely on computing the exponential of a non-diagonal matrix. In our numerical results we use two different efficient techniques: the real fast \Leja points and Krylov subspace techniques. We present results for a linear reaction diffusion equation in two dimensions as well as a nonlinear example of two-dimensional stochastic advection diffusion reaction equation motivated from realistic porous media flow.

研究の動機と目的

• 加法的ノイズを伴うSPDEのための、有限要素空間離散化を用いた高次時間積分スキームの開発。
• フーリエ空間におけるノイズの線形関数型を用いることで、標準的時間積分スキームの次数低下障壁を克服すること。
• Krylov部分空間およびLéja点技術を用いて、非対角行列系における行列指数関数の効率的計算を可能にすること。
• スペクトル法にとどまらず、有限要素法や有限体積法のような柔軟な空間離散化へ指数関数的積分法を拡張すること。
• 非均質な多孔質媒体における非線形対流拡散反応方程式を含む実用的SPDEに対して、手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• スキームは、半群 $S(t) = e^{tA}$ を含む弱解表現を用い、時間積分に指数関数的積分法の求積則を適用する。
• 標準的なウィener増分を避けるために、フーリエ空間におけるノイズの線形関数型を適用し、高次精度を達成する。
• 時間離散化には、演算子 $A_h$ の $\varphi$-関数 $\varphi_0, \varphi_1$ を用い、Krylov部分空間または実数高速Léja点法により計算する。
• 空間離散化には、適合有限要素法または有限体積法を用い、射影を用いた弱いディリクレ境界条件の導入を行う。
• 非線形項に対しては、$F$ がリプシッツ連続および成長条件を満たすものとして、半陽的処理を適用する。
• 適応的時間刻みと絶対誤差 $10^{-6}$ を用いて、行列指数関数の評価を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限要素離散化された加法的ノイズ付きSPDEに対して、指数関数的積分法は時間方向に高次収束性を達成できるか？
• RQ2 ノイズの線形関数型の使用は、標準的Euler-Maruyamaスキームと比較して収束性をどのように向上させるか？
• RQ3 有限要素法で生じる非対角行列演算子に対して、行列指数関数の計算を効率的に行えるか？
• RQ4 非線形SPDEに含まれる対流項および反応項を伴う、非均質な多孔質媒体における性能はいかがなものか？
• RQ5 低正則性初期データおよび$H^1$または$H^2$ノルムにおける粗いノイズ下でも、手法は安定性と精度を維持できるか？

主な発見

• $H^2$-正則ノイズに対しては、$L^2$ノルムにおける平均二乗収束次数が $1/4$、$H^1$ノルムに対しては$H^1$-正則ノイズで $1/4$ の収束次数を達成する。
• 標準的半陽的Euler-Maruyamaスキームと同等の時間収束次数であっても、指数関数的積分法（SETD1）は優れた精度を示す。
• 線形反応拡散方程式では、ノイズが存在しない場合に正確な解の再現が確認され、一貫性が裏付けられる。
• 不均一透水率を有する非線形対流拡散反応問題において、Péclet数 $16.58$ の下でも安定性と収束性が維持される。
• $\varphi_0$ 評価において、Léja点法はKrylov部分空間手法に比べてわずかにCPU時間の面で効率的であった。
• 数値結果により、均質および非均質媒体の両方において、時間方向の収束率が $1/4$ に近いことが確認され、理論的境界が妥当であることが裏付けられた。