[論文レビュー] Stochastic First Integrals, Kernel Functions for Integral Invariants and the Kolmogorov equations

Valery Doobko, Elena Karachanskaya|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2013

Numerical methods in inverse problems参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ジャンプ・ドリフト過程に対する一般化された伊藤＝ヴェントツルの公式を導入し、確率的初等積分、積分不変量の核、遷移密度のコルモゴロフ方程式を導出する。古典的伊藤＝ヴェントツルの公式にポアソンジャンプを組み込むことで、ジャンプ成分を含む拡散過程における確率的不変量の構築およびFokker-Planck型方程式の導出のための厳密な枠組みを確立する。

ABSTRACT

In this article the authors present stochastic first integrals (SFI), the generalized Itô-Wentzell formula and its application for obtaining the equations for SFI, for kernel functions for integral invariants and the Kolmogorov equations, described by the generalized Itô equations.

研究の動機と目的

• ウィーナー過程とポアソンノイズ成分を併用する一般化された伊藤SDEsの一般化された伊藤＝ヴェントツルの公式を構築すること。
• ジャンプ・ドリフト過程における確率的初等積分を定義・特徴づけ、古典的な決定論的概念を確率的設定に拡張すること。
• 動的不変量の局所密度を表す確率的積分不変量の核に関する方程式を導出すること。
• 一般化された公式を用いて、遷移確率密度のコルモゴロフ前向きおよび後ろ向き方程式を確立すること。
• 強い摂動を受ける確率的システムにおける確率1のプログラム制御の構築のための厳密な理論的基盤を提供すること。

提案手法

• ウィーナー過程およびポアソン確率測度によって駆動される伊藤SDEsの一般化された伊藤＝ヴェントツルの公式を導入する。
• 一般化された公式を用いて、特定の関数的の不変性を保証する条件下で、確率的初等積分方程式を導出する。
• 動的不変量の局所的確率的密度を定義し、一般化された伊藤＝ヴェントツルの公式を用いてその時間発展方程式を導出する。
• 局所的確率的密度と確率的積分不変量の核との関係を確立する。
• 導出された確率的初等積分および核方程式を用いて、遷移確率密度のコルモゴロフ前向きおよび後ろ向き方程式を導出する。
• 一般化された公式を用いて、確率的核および初等積分を記述する方程式の解の存在および一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的伊藤＝ヴェントツルの公式は、確率微分方程式にジャンプ成分を組み込むことでどのように拡張可能か？
• RQ2 Lévyノイズを含む一般化された伊藤SDEに対して、確率的初等積分が存在するための条件は何か？
• RQ3 ジャンプ・ドリフト過程における確率的積分不変量の核は、動的不変量の局所密度とどのように関係しているか？
• RQ4 一般化された伊藤＝ヴェントツルの公式から直接、コルモゴロフ前向きおよび後ろ向き方程式を導出可能か？
• RQ5 一般化された伊藤＝ヴェントツルの公式は、確率的不変量核の解の存在および一意性を証明する上で果たす役割は何か？

主な発見

• ウィーナー成分とポアソン成分を併用するSDEsに対して一般化された伊藤＝ヴェントツルの公式が導出され、ジャンプが存在しない場合には古典的公式に還元される。
• 確率的初等積分が存在し、一般化された公式を用いて導出された特定の確率的PDEを満たすことが示された。
• 確率的積分不変量の核は、不変測度の局所密度を記述する確率的PDEの解として特定された。
• 遷移密度のコルモゴロフ前向き方程式は、核の時間発展方程式の結果として導出された。
• 同じ枠組みを用いてコルモゴロフ後ろ向き方程式が確立され、拡散ケースにおける古典的結果と整合性が確認された。
• 本手法は、強い摂動を受ける確率的システムにおける確率1の制御戦略の構築に、厳密な基盤を提供する。