[論文レビュー] Expansions of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals of Multiplicities 1 to 4, Based on Generalized Multiple Fourier Series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、multiplicities 1 から 4 の繰り返し伊藤型ストラトノビッチ確率積分の平均二乗収束を示す、$L_2([t, T]^k)$ における一般化された多重フーリエ級数展開を提示する。収束性は、ルジャンドルおよび三角関数級数の両方で証明されている。主な貢献は、1回の極限遷移のみを必要とする手法であり、非可換ノイズを有する多次元 Ito 型確率微分方程式の効率的数値近似を可能にする。

ABSTRACT

The article is devoted to the expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 4 on the basis of the method of generalized multiple Fourier series that are converge in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k),$ $k=1,2,3,4.$ Mean-square convergence of the expansions for the case of multiple Fourier-Legendre series and for the case of multiple trigonometric Fourier series is proved. The considered expansions contain only one operation of the limit transition in contrast to its existing analogues. This property is very important for the mean-square approximation of iterated stochastic integrals. The results of the article can be applied to the numerical integration of Ito stochastic differential equations with multidimensional non-commutative noises.

研究の動機と目的

• multiplicities 1 から 4 の繰り返しストラトノビッチ確率積分を近似する数値的に効率的な手法を開発すること。
• k = 1,2,3,4 の Hilbert 空間 $L_2([t, T]^k)$ において、展開の平均二乗収束を保証すること。
• 従来の複数の極限遷移を要する手法とは異なり、1回の極限遷移のみを必要とするため、計算複雑性を低減すること。
• 非可換ノイズを有する多次元 Ito 型確率微分方程式の実用的数値統合を可能とすること。
• 直交展開を用いて、フーリエ級数技法を高次確率積分へ一般化すること。

提案手法

• k=1,2,3,4 の $L_2([t, T]^k)$ における一般化された多重フーリエ級数展開を用いて、繰り返しストラトノビッチ確率積分を表現する。
• 展開の基底関数として、多重ルジャンドル多項式級数および多重三角関数フーリエ級数を適用する。
• 両タイプの級数において、Hilbert 空間ノルムにおける展開の平均二乗収束を証明する。
• 近似プロセスにおいて、複数の極限遷移を要する従来のアプローチと比較して、計算フレームワークを簡素化する1回の極限遷移を採用する。
• 直交基底関数を用いて、被積分関数のフーリエ係数の明示的表現を導出する。
• 直交展開の $L_2$ 空間における性質を通じて、理論的収束保証を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 multiplicities 1 から 4 の繰り返しストラトノビッチ確率積分は、一般化された多重フーリエ級数を用いて効果的に展開可能か？
• RQ2 提案手法は、ルジャンドルおよび三角関数級数の両方において、$L_2([t, T]^k)$ で平均二乗収束を達成するか？
• RQ3 近似プロセスにおける単一極限遷移は、従来の複数極限アプローチと比較して、計算効率面でどのように異なるか？
• RQ4 直交基底関数は、展開の収束性および安定性を保証する上で果たす役割は何か？
• RQ5 この手法は、非可換ノイズを有する多次元 Ito 型 SDE の数値解法に、どの程度まで応用可能か？

主な発見

• multiplicities 1 から 4 の繰り返しストラトノビッチ確率積分の展開は、両方の級数（ルジャンドルおよび三角関数フーリエ級数）において、$L_2([t, T]^k)$ で平均二乗収束する。
• 本手法は、複数の極限遷移を要する従来の手法とは異なり、1回の極限遷移のみを必要とするため、数値実装が著しく簡素化される。
• 多重ルジャンドルおよび多重三角関数フーリエ級数展開の両方において、平均二乗収束が厳密に証明されている。
• 本手法により、非可換ノイズを有する多次元 Ito 型確率微分方程式の効率的数値統合が可能になる。
• 一般化された多重フーリエ級数の使用により、高次確率積分の堅牢かつ安定した近似が保証される。
• 理論的枠組みは、数値応用における収束保証付きの実用的計算を支援する。