[論文レビュー] Stochastic flows for Lévy processes with Hölder drifts

Zhen-Qing Chen, Renming Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、Hölder連続なドリフトを持つLévy過程によって駆動される確率微分方程式（SDE）に対して、強い存在性およびパスワイズ一意性を確立し、ドリフトがジャンプ活動を支配する超臨界的領域にまでその結果を拡張している。α ∈ (0, 2) におけるα安定型Lévy過程と、β ∈ (1 - α/2, 1) における有界かつβ-Hölder連続なドリフトbをもつSDEは、一意な強い解をもつことが証明され、これはPriola（2011）が提起した未解決問題を解決するものである。

ABSTRACT

In this paper we study the following stochastic differential equation (SDE) in ${\mathbb R}^d$: $$ \mathrm{d} X_t= \mathrm{d} Z_t + b(t, X_t)\mathrm{d} t, \quad X_0=x, $$ where $Z$ is a Lévy process. We show that for a large class of Lévy processes ${Z}$ and Hölder continuous drift $b$, the SDE above has a unique strong solution for every starting point $x\in{\mathbb R}^d$. Moreover, these strong solutions form a $C^1$-stochastic flow. As a consequence, we show that, when ${Z}$ is an $α$-stable-type Lévy process with $α\in (0, 2)$ and $b$ is bounded and $β$-Hölder continuous with $β\in (1- α/{2},1)$, the SDE above has a unique strong solution. When $α\in (0, 1)$, this in particular solves an open problem from Priola \cite{Pr1}. Moreover, we obtain a Bismut type derivative formula for $ abla {\mathbb E}_x f(X_t)$ when ${Z}$ is a subordinate Brownian motion. To study the SDE above, we first study the following nonlocal parabolic equation with Hölder continuous $b$ and $f$: $$ \partial_t u+{\mathscr L} u+b\cdot abla u+f=0,\quad u(1, \cdot )=0, $$ where $\mathscr L$ is the generator of the Lévy process ${Z}$.

研究の動機と目的

• ドリフトがLipschitzでない純粋なジャンプ型Lévy過程によって駆動されるSDEに対して、強い存在性およびパスワイズ一意性の結果が不足している状況、特に超臨界的領域において解決する。
• ZvonkinおよびVeretennikov型変換の既存の結果を、α安定型および従属ブラウン運動を含むLévy過程に関連する非局所的生成作用素へと拡張する。
• Priola（2011）が提起した、α ∈ (0, 1) におけるα安定型Lévy過程を駆動源とし、時間に依存するHölder連続ドリフトをもつSDEのパスワイズ一意性に関する未解決問題を解決する。
• 従属ブラウン運動であるLévy過程の場合に、解の遷移密度の勾配に対するBismut型導出公式を確立する。
• 一意な強い解からC¹-確率的流れ（diffeomorphism）を構成し、初期条件に対する滑らかな依存性を保証する。

提案手法

• 非局所的放物型PDE ∂ₜu + ℒu + b·∇u + f = 0 の解析にZvonkin型変換を用いる。ここでℒはLévy過程Zの生成作用素である。
• Lévy生成作用素の構造とbおよびfのHölder連続性を用いて、非局所的PDEの解に対する事前Hölder推定を確立する。
• 時間の正則化および近似スキームを適用し、滑らかな係数を持つSDEの系列を構成し、緊密性および収束の議論により極限に移行する。
• ジャンプ強度の閾値に基づく停止時間の議論を用いて、過程のパスワイズな挙動を大ジャンプ間の区間へと分解する。
• Gronwallの不等式およびモーメント推定を用いて、近似過程間のL²差を制御し、確率的収束および部分列におけるほとんど確実収束を証明する。
• Zが従属ブラウン運動であるという仮定の下で、解のMalliavin微分を分析し、∇𝔼ₓf(Xₜ)に対するBismut型導出公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Zがα ∈ (0, 2) におけるα安定型Lévy過程であり、bが有界かつβ ∈ (1 - α/2, 1) におけるβ-Hölder連続であるとき、SDE dXₜ = dZₜ + b(t, Xₜ)dt は初期条件x ∈ ℝᵈに対して一意な強い解をもつか？
• RQ2 一般のLévy過程によって駆動され、Hölder連続ドリフトをもつSDEに対して、強い存在性およびパスワイズ一意性を確立できるか。特にα ∈ (0, 1) の超臨界的領域においては？
• RQ3 駆動過程が従属ブラウン運動である場合に、遷移期待値 ∇𝔼ₓf(Xₜ) の勾配に対するBismut型導出公式を導出可能か？
• RQ4 SDEの一意な強い解が、初期条件に対する滑らかな依存性を保証するC¹-確率的流れ（diffeomorphism）を形成できるか？
• RQ5 fおよびbがHölder連続であり、ℒがLévy過程の生成作用素であるとき、非局所的PDE ∂ₜu + ℒu + b·∇u + f = 0 の解はHölder正則性をもつか？

主な発見

• α ∈ (0, 2) におけるα安定型Lévy過程と、有界かつβ ∈ (1 - α/2, 1) におけるβ-Hölder連続なドリフトbをもつSDE dXₜ = dZₜ + b(t, Xₜ)dt は、任意の初期条件x ∈ ℝᵈに対して一意な強い解をもつ。
• α ∈ (0, 1) のとき、この結果はPriola（2011）における未解決問題を解決する。当時、超臨界的領域における時間に依存しないHölder連続ドリフトのパスワイズ一意性は未だ確立されていなかった。
• 一意な強い解はC¹-確率的流れ（diffeomorphism）を形成し、解写像x ↦ Xₜ(x)が、導関数の jointly measurable なバージョンをもつC¹-連続関数であることを示唆する。
• Zが従属ブラウン運動である場合に、∇𝔼ₓf(Xₜ)に対するBismut型導出公式が導出され、遷移密度の勾配推定が得られる。
• 非局所的放物型PDE ∂ₜu + ℒu + b·∇u + f = 0 の解に対して、事前Hölder推定が確立され、その境界はfおよびbのHölderノルムおよびZのLévy測度に依存する。
• モーメント推定およびGronwallの不等式を用いて、近似SDE系列の収束が証明され、極限がほとんど確実に元のSDEを満たすことが保証される。