[論文レビュー] Stochastic Fusion of Interacting Particle Systems and Duality Functions

Jeffrey Kuan|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 33被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、定常測度とRogers–Pitmanの相互関係を用いて、排他過程から多粒子相互作用粒子系を構築する新しい手法、確率的融合（stochastic fusion）を提案する。この手法により、融合された過程に対してマルコフ双対性を確立し、一般化された対称的および非対称的排他過程（開放境界を含む）の流体力学的極限および定常測度の計算が可能になる。

ABSTRACT

We introduce a new method, which we call stochastic fusion, which takes an exclusion process and constructs an interacting particle systems in which more than one particle may occupy a lattice site. The construction only requires the existence of stationary measures of the original exclusion process on a finite lattice. If the original exclusion process satisfies Markov duality on a finite lattice, then the construction produces Markov duality functions (for some initial conditions) for the fused exclusion process. The stochastic fusion construction is based off of the Rogers-Pitman intertwining. In particular, we have results for three types of models: 1. For symmetric exclusion processes, the fused process and duality functions are inhomogeneous generalizations of those in \cite{GKRV}. The construction also allows a general class of open boundary conditions: as an application of the duality, we find the hydrodynamic limit and stationary measures of the generalized symmetric simple exclusion process SSEP$(m/2)$ on $\mathbb{Z}_+$ for open boundary conditions. 2. For the asymmetric simple exclusion process, the fused process and duality functions are inhomogeneous generalizations of those found in \cite{CGRS} for the ASEP$(q,j)$. As a by-product of the construction, we show that the multi-species ASEP$(q,j)$ preserves $q$-exchangeable measures, and use this to find new duality functions for the ASEP, ASEP$(q,j)$ and $q$-Boson. Additionally, the construction leads to duality for ASEP with open boundary conditions. As an application of the latter duality, we find the hydrodynamic limit. 3. For dynamic models, we fuse the dynamic ASEP from \cite{BorodinDyn}, and produce a dynamic and inhomogeneous version of ASEP$(q,j)$. We also apply stochastic fusion to IRF models and compare them to previously found models. We include an appendix co-authored with Amol Aggarwal.

研究の動機と目的

• 単一粒子の排他過程から、1サイトに複数粒子が存在する相互作用粒子系を構築する一般化された手法を開発すること。
• 元の過程の定常測度とRogers–Pitmanの相互関係を用いて、得られた融合過程に対してマルコフ双対性を確立すること。
• ASEPおよびSSEPの非一様的、開放境界、動的バージョン（多種粒子および高スピンモデルを含む）に対しても双対性の結果を拡張すること。
• 構築された双対関数を用いて、一般化された排他過程の流体力学的極限および定常測度を導出すること。
• Aggarwalとともに執筆した付録を通じて、代数的および頂点モデルとの関係を明確にし、粒子系の融合が確率的頂点モデルにどのように関連するかを示すこと。

提案手法

• 確率的融合は、元の排他過程の定常測度から導かれる確率的相互関係行列を用いて、新たな過程を構築する。
• この手法は、Rogers–Pitmanの相互関係に依拠しており、元のマコフ過程の関数が特定の変換のもとで再びマコフ過程となる。
• 融合過程の双対関数は、元の過程が有限格子上でマルコフ双対性を満たす限り、元の双対性から導出可能である。
• この構成は、対称的排他過程（SSEP）、非対称的排他過程（ASEP）、および動的ASEPに適用され、非一様一般化が得られる。
• 動的モデルに対しては、dualityがq-交換可能な測度のもとで保たれる、動的かつ非一様なASEP(q,j)のバージョンが得られる。
• 代数的基盤は、q-恒等式と頂点モデルの重みを用いた付録で検討され、粒子系の融合と確率的頂点モデルとの関連が示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対性を保ちつつ、単一粒子の排他過程から多粒子相互作用粒子系を体系的に構築する手法を開発できるか？
• RQ2 元の過程が有限格子上で双対性を満たす場合、確率的融合の構成がマルコフ双対性をどのように保つのか？
• RQ3 開放境界を伴う一般化された対称的および非対称的排他過程の流体力学的極限および定常測度は何か？
• RQ4 融合手法は動的モデルにどのように拡張可能か？また、動的ASEP(q,j)およびq-Boson過程に対しては、どのような新しい双対関数が出現するか？
• RQ5 確率的融合による相互作用粒子系と、確率的頂点モデルにおける融合との間の代数的関係は何か？

主な発見

• 確率的融合手法により、元の排他過程の定常測度のみを用いて、1サイトに複数粒子が存在する新たな相互作用粒子系が構築可能である。
• 対称的排他過程に対しては、融合過程および双対関数は[GKRV09]におけるものとは非一様一般化であり、Z+ 上の開放境界を伴うSSEP(m/2)に対して流体力学的極限および定常測度が導出された。
• 非対称的排他過程に対しては、融合されたASEP(q,j)はq-交換可能な測度を保ち、ASEP、ASEP(q,j)、q-Bosonに対して新たな双対関数が得られ、半直線上の開放境界を伴うASEPの流体力学的極限の計算が可能になった。
• 動的ASEP(q,m)モデルは、動的かつ非一様なASEP(q,j)に成功裏に融合され、有限格子系に対する新しいアンザッツにより双対性が確立された。
• 構築された双対関数は、[Agg18]における再パラメータ化形式と一致し、既知の頂点モデル融合結果と整合性が確認された。
• 動的q-Bosonモデルの連続時間極限が解析され、得られる遷移率が非動的ケースとは異なり、[KMMO16]に既知の恒等式の特別なケースと一致した。