[論文レビュー] Stochastic Heat Equation with general noise

Yaozhong Hu, Xiong Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Hurstenパラメータ $ H \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) $ を持つ粗いガウスノイズによって駆動される1次元非線形確率的熱方程式の適切性（well-posedness）を確立する。従来の研究で求められていた制限的条件 $ \sigma(0) = 0 $ を排除した。著者らは空間的に減衰する重み $ \lambda(x) = c_H(1 + |x|^2)^{H-1} $ を導入し、非ゼロの $ \sigma(0) $ を許容する重み付き解空間 $ \mathcal{Z}_{\lambda,T}^p $ を構築した。また、$ t, x \to \infty $ のときの解およびその Hölder 係数（時間および空間の両方）の正確な漸近的成長率を導出する。

ABSTRACT

In this paper, we study a nonlinear one spatial dimensional stochastic heat equations driven by Gaussian noise: $\frac{\partial u }{\partial t}=\frac{\partial^2 u }{\partial x^2}+σ(u )\dot{W} $, where $\dot{W} $ is white in time and has the covariance of a fractional Brownian motion with Hurst parameter $H\in(\frac 14,\frac 12)$. We remove a critical and unnatural condition $σ(0)=0$ previously imposed in a recent paper by Hu, Huang, Lê, Nualart and Tindel. The idea is to work on a weighted space $\mathcal{Z}_{λ,T}^p$ for some power decay weight $λ(x)=c_H(1+|x|^2)^{H-1}$. We obtain the weak existence of solution. With additional decay conditions on $σ$ we obtain the existence of strong solution and the pathwise uniqueness of the strong solution. The reason to introduce the weight function is that the solution $u(t,x)$ may explode as $|x| ightarrow \infty$ when the "diffusion coefficient" $σ(u)$ does not satisfy $σ(0)=0$ regardless of the initial condition. This motivates us to study the exact asympotics of the solution $u_{ m add}(t,x)$ as $t$ and $x$ go to infinity when $σ(u)=1$ and when the initial condition $u_0(x)\equiv 0$. In particular, we find the exact growth of $\sup_{|x|\leq L}{|u_{ m add}(t,x)|}$. Furthermore, we find the sharp growth rate for the Hölder coefficients, namely, $\sup_{|x|\leq L} \frac{| u_{ m add}(t,x+h)-u_{ m add}(t,x)|}{|h|^β}$ and $\sup_{|x|\leq L} \frac{| u_{ m add}(t+τ,x)-u_{ m add}(t,x)|}{τ^α}$. These results are interesting and fundamental themselves.

研究の動機と目的

• 従来の研究で中心的であった技術的仮定 $ \sigma(0) = 0 $ を排除すること。
• 新しい解空間を構築することで、一般の非線形拡散係数 $ \sigma $（特に $ \sigma(u) \equiv 1 $ のアフィンケースを含む）を扱えるように解の枠組みを拡張すること。
• 重み付き空間 $ \mathcal{Z}_{\lambda,T}^p $ において、強い解の存在およびパスワイズ一意性を確立すること。重みは $ \lambda(x) = c_H(1 + |x|^2)^{H-1} $ である。
• 解 $ u_{\text{add}}(t,x) $ 及びその Hölder 係数の正確な漸近的成長率を、$ t, x \to \infty $ のとき、特に非有界領域における上界を含めて導出すること。
• 加法的ノイズ下で、$ \sup_{|x|\leq L} |u_{\text{add}}(t,x)| $、および空間的・時間的 Hölder 範囲の成長に対して鋭い推定を行うこと。

提案手法

• 解空間 $ \mathcal{Z}_{T}^p $ を重み付き空間 $ \mathcal{Z}_{\lambda,T}^p $ に置き換えることで、$ \sigma(0) \neq 0 $ の場合でも解が存在可能となるようにする。重みは $ \lambda(x) = c_H(1 + |x|^2)^{H-1} $ である。
• 重み付き熱核推定および主要化測度技法を用いて、空間的・時間的ノイズの不規則性を制御する。
• 空間的増分およびノイズ構造に基づき、解の差を三つの項 $ J_1, J_2, J_3 $ に分解する。分数拡散ノイズの自己相似性および共分散構造を活用する。
• $ \sigma $ 及びその微分の Hölder 連続性仮定に加え、一様な減衰条件を用いて、解の空間的・時間的増分をバインドする。
• 解の差の2次モーメント $ I_1(t) $ および $ I_2(t) $ を含む積分不等式に対してグロンウォールの不等式を適用し、パスワイズ一意性を証明する。
• モーメントのバインドおよび減衰構造に依存する、解の Hölder 連続な修正の存在を定理1.5によって確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限的仮定 $ \sigma(0) = 0 $ がなければ、非線形確率的熱方程式の適切性を確立できるか？
• RQ2 解 $ u_{\text{add}}(t,x) $ が $ t \to \infty $ および $ x \to \infty $ のとき、正確な漸近的挙動を示すか？
• RQ3 非有界領域における解の空間的および時間的 Hölder 係数の鋭い成長率は何か？
• RQ4 非ゼロの初期値および拡散係数 $ \sigma(0) \neq 0 $ を許容する重み付き解空間 $ \mathcal{Z}_{\lambda,T}^p $ は、どのように構築できるか？
• RQ5 次を含む、$ t, x \to \infty $ のときの正確な漸近的挙動は何か？ $ \sup_{|x|\leq L} |u_{\text{add}}(t,x)| $、$ \sup_{|x|\leq L} \frac{|u(t,x+h)-u(t,x)|}{|h|^\beta} $、および $ \sup_{|x|\leq L} \frac{|u(t+\tau,x)-u(t,x)|}{\tau^\alpha} $。

主な発見

• 本稿は、重み付き空間 $ \mathcal{Z}_{\lambda,T}^p $ を導入することにより、$ \sigma(0) \neq 0 $ の場合でも、一般の $ \sigma $ を持つ確率的熱方程式に対して強い解の存在およびパスワイズ一意性を確立した。重みは $ \lambda(x) = c_H(1 + |x|^2)^{H-1} $ である。
• 加法的ノイズの場合 $ \sigma(u) \equiv 1 $ において、$ \sup_{|x|\leq L} |u_{\text{add}}(t,x)| $ の正確な成長率が導出され、$ t, x \to \infty $ のとき、対数補正項を除き $ t^{H/2} $ のオーダーで成長することが示された。
• 空間的 Hölder 係数 $ \sup_{|x|\leq L} \frac{|u(t,x+h)-u(t,x)|}{|h|^\beta} $ の鋭い成長率は $ t^{H/2} $ であり、$ \beta = H $ である。これは、解が確率的にほぼ $ H $-Hölder 連続であることを示している。
• 時間的 Hölder 係数 $ \sup_{|x|\leq L} \frac{|u(t+\tau,x)-u(t,x)|}{\tau^\alpha} $ は $ t^{H/2} $ のオーダーで成長し、$ \alpha = H/2 $ である。これは、解が時間的に $ H/2 $-Hölder 連続であることを示している。
• 解 $ u_{\text{add}}(t,x) $ は正確な漸近的挙動を示す：$ t \to \infty $ のとき、$ \sup_{|x|\leq L} |u_{\text{add}}(t,x)| \sim t^{H/2} $ であり、Hölder 範囲も $ t^{H/2} $ のオーダーでスケーリングされる。
• 標準的手法が [12] で破綻するのを回避するため、非重み付き空間を重み付き空間に置き換えることで、非アフィンな $ \sigma $ および $ \sigma(u) \equiv 1 $ を含む一般の非線形性クラスの解析が可能になった。