[論文レビュー] Stochastic heat equations with general multiplicative Gaussian noises: Hölder continuity and intermittency

Yaozhong Hu, Jingyu Huang+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一般の乗法的ガウスノイズを伴う確率的熱方程式の解について、フェインマン＝ハースの公式とマルリヴィン計算を用いて、ホルダー連続性および間欠的性質を確立する。一般の時間および空間共分散構造のもとで、スコロホッドおよびストラトノビッチ解釈の両方について、鋭いモーメント推定値を導出し、解の間欠的挙動を裏付ける時間およびモーメント次数における指数的尾部バウンドを証明する。

ABSTRACT

This paper studies the stochastic heat equation with multiplicative noises of the form uW, where W is a mean zero Gaussian noise and the differential element uW is interpreted both in the sense of Skorohod and Stratonovich. The existence and uniqueness of the solution are studied for noises with general time and spatial covariance structure. Feynman-Kac formulas for the solutions and for the moments of the solutions are obtained under general and different conditions. These formulas are applied to obtain the Hölder continuity of the solutions. They are also applied to obtain the intermittency bounds for the moments of the solutions.

研究の動機と目的

• 一般の乗法的ガウスノイズを伴う確率的熱方程式の解のホルダー連続性を確立すること。
• スコロホッドおよびストラトノビッチ解釈の両方において、解のモーメント推定値を導出すること。
• 高次モーメントの成長を定量的に評価することで、解の間欠的性質を証明すること。
• 一般の共分散構造のもとで、解およびそのモーメントのフェインマン＝ハースの公式を構築すること。
• 従来の結果を、時刻方向に白色または空間方向に白色のノイズにとどまらず、一般の時間および空間相関関数へと拡張すること。

提案手法

• 一般のノイズ共分散構造のもとで解の存在および一意性を示すために、乱雑展開を用いる。
• マルリヴィン計算およびスコロホッド積分の定式化を用いて、イト＝スコロホッドの意味での乗法的ノイズを扱う。
• 時間依存および時間非依存のノイズに対して、経路積分およびヤング積分の技術を用いてフェインマン＝ハース関数を構築する。
• フーリエ解析およびブラウン運動の経路推定を用いて、モーメントの下界および上界を導出する。
• ブラウン運動のスケーリング性質および熱核によるデルタ関数の近似を用いて、モーメント成長を分析する。
• コーシー＝シュワルツおよび確率的推定を用いて、モーメント成長を制御し、指数的バウンドを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間および空間共分散構造がどのような条件下で、乗法的ガウスノイズを伴う確率的熱方程式がスコロホッドまたはストラトノビッチの意味で一意な解をもつか。
• RQ2 解のホルダー連続性は、ノイズの時間および空間相関構造にどのように依存するか。
• RQ3 解のk次のモーメントの時間およびkに関する正確な漸近的成長率は何か。また、それらはどのように間欠的性質を反映するか。
• RQ4 解およびそのモーメントのフェインマン＝ハースの公式は、一般のノイズ共分散構造にどのように依存するか。
• RQ5 同一のノイズ条件下で、スコロホッドおよびストラトノビッチ形式の間で、モーメント推定値にどの程度の差が生じるか。

主な発見

• 時間依存ノイズで自己同相似性指数β ∈ (0,1)を満たす場合、解のk次のモーメントは、十分大きなtおよびkに対してexp(Ct^{3-2β}k^3)のようになる。これは強い間欠的性質を確認する。
• 時間非依存ノイズで空間共分散Λ(x) ∝ |x|^{-(d-a)}（d次元）を満たす場合、k次のモーメントはexp(Ct^{(4-a)/(2-a)}k^{(4-a)/(2-a)})のようになり、a ∈ (0,2)である。これはべき則的間欠的スケーリングを示す。
• 空間的に白色なノイズ（δ₀(x)）の場合、ストラトノビッチ解釈ではモーメント成長がexp(Ct^3k^3)、スコロホッド解釈ではexp(Ct^{3-2β}k^3)となる。両者ともに間欠的性質を確認する。
• 解は時間および空間の両方においてホルダー連続性を示し、その正則性はノイズ共分散構造の滑らかさに依存する。
• スコロホッドおよびストラトノビッチ両形式について、フェインマン＝ハースの公式が導出され、確率積分および乱雑展開を用いたモーメント推定が可能になる。
• 結果は、解がモーメント成長率の観点から、文脈における標準的な間欠的条件（1.4）を満たすことを確認する。