[論文レビュー] Stochastic homogenization in amorphous media and applications to exclusion processes

Alessandra Faggionato|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、マーク付きポアソン点過程などのアモルファス媒体における無限大ジャンプ範囲を有する確率的ランダムウォークのためのストキャスティックホモジゼーションを、拡張された二尺度収束フレームワークを用いて確立する。本稿は、このような環境における対称的単純排除過程の流体力学的極限を証明し、不規則な固体におけるモット変動範囲ホッピングへの応用を含む。

ABSTRACT

We consider random walks on marked simple point processes with symmetric jump rates and unbounded jump range. We prove homogenization properties of the associated Markov generators. As an application, we derive the hydrodynamic limit of the simple exclusion process given by multiple random walks as above, with hard-core interaction, on a marked Poisson point process. The above results cover Mott variable range hopping, which is a fundamental mechanism of phonon-induced electron conduction in amorphous solids as doped semiconductors. Our techniques, based on an extension of two-scale convergence, can be adapted to other models, as e.g. the random conductance model.

研究の動機と目的

• マーク付き単純点過程上における無限大ジャンプ範囲を有する連続時間ランダムウォークのためのホモジゼーションを確立すること。
• 格子構造を欠くアモルファス媒体に二尺度収束技術を拡張し、長距離ジャンプの解析を可能にする。
• ランダム環境上における対称的単純排除過程の流体力学的極限を導出すること、モット変動範囲ホッピングを含む。
• 不規則な固体や長距離相互作用を有する他のランダム媒体に適用可能な厳密な数学的枠組みを提供すること。
• パーム測度とエルゴード理論を用いて、既存のホモジゼーション結果を非格子的・非周期的・エルゴード的でない構造へ一般化すること。

提案手法

• 点過程におけるすべてのサイトペア間の差を符号化する「アモルファス勾配」を導入することで、アモルファス媒体に二尺度収束を適応させる。
• ジャンプレートが空間的距離とサイトエネルギーに依存するマーク付き点過程上での連続時間ランダムウォークの生成子を基本演算子として用いる。
• 環境空間における補正子方程式の解を用いて、有効拡散行列 D の変分的特徴付けを適用する。
• 拡張された二尺度収束フレームワークを用いて、スケーリングされた解が行列 D を持つ決定的拡散方程式に収束することを証明する。
• （例えばポアソンまたはサイト確率的配置に基づくものなど）下位の点過程のエルゴード性と定常性を用いて、法則収束を保証する。
• ラクス＝ミルグラムの定理と勾配の $ L^2 $-有界性を活用して、解およびエネルギー関数の弱収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大ジャンプ範囲および長距離相互作用を有するアモルファス媒体上の確率的ホモジゼーションを拡張することは可能か？
• RQ2 マーク付き点過程上での排除過程の流体力学的極限において、有効拡散行列はどのようにして出現するか？
• RQ3 二尺度収束は、無限大範囲ジャンプを有する非格子的・非周期的ランダム媒体に適応可能か？
• RQ4 環境のエルゴード性と定常性が決定的拡散への収束を保証する役割を果たすのはどのようなものか？
• RQ5 ホモジゼーション極限下で、スケーリングされた過程のエネルギーおよび勾配関数はどのように収束するか？

主な発見

• スケーリングされたランダムウォーク生成子 $ \frac{1}{\rho} \tilde{\rho} \to \nabla \tilde{D} \nabla $ において、$ \tilde{D} $ は変分公式から導かれる有効拡散行列である。
• スケーリングされたポアソン方程式 $ \rho u_\rho - \tilde{L}_\rho u_\rho = f_\rho $ の解 $ u_\rho $ は弱収束して、有効方程式 $ \rho u - \nabla D \nabla u = f $ の解 $ u $ に収束する。
• スケーリングされた過程の勾配およびエネルギーは $ L^2 $-意味でそのホモジゼーションされた対応物に収束し、半群の収束も成立する。
• マーク付きポアソン点過程上における対称的単純排除過程の流体力学的極限は、エルゴード性と定常性の仮定の下で、行列 $ D $ を持つ決定的拡散である。
• 有効拡散行列 $ D $ は環境空間における補正子方程式により特徴付けられ、$ \nabla u = 0 \ \nu\text{-a.s.} $ が成り立つことで $ D $ が適切に定義されかつ対称的であることが保証される。
• 本手法は、モットv.r.h.を越えて、ランダムコンダクタンスモデルやデローニ三角形分割など、一般構造を持つモデルへも適用可能である。