[論文レビュー] Stochastic Komatu-Loewner evolutions and BMD domain constant

Zhen-Qing Chen, Masatoshi Fukushima|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、複素平面における複素数個の不連続な水平スリットを持つ標準的スリット領域へのSLEの一般化として、BMD複素ポアソン核から導かれる同次係数をもつマルコフ型SDEによって駆動される確率的コマツ・ルーネル方程式（SKLE）を導入する。主な結果として、漂移が$-b_{\text{BMD}}$で拡散係数が$\sqrt{6}$であるSKLEが局所性を示し、これは複素数個のスリット領域における$\mathrm{SLE}_6$を特徴づける。

ABSTRACT

Let $D={\mathbb H} \setminus \cup_{k=1}^N C_k$ be a standard slit domain, where ${\mathbb H}$ is the upper half plane and $C_k$, $1\leq k\leq N$, are mutually disjoint horizontal line segments in $H$. Given a Jordan arc $γ\subset D$ starting at $\partial H$, let $g_t$ be the unique conformal map from $D\setminusγ[0,t]$ onto a standard slit domain $D_t={\mathbb H} \setminus \cup_{k=1}^N C_k(t)$ satisfying the hydrodynamic normalization at infinity. It has been established recently that $g_t$ satisfies an ODE called a Komatu-Loewner equation in terms of the complex Poisson kernel of the Brownian motion with darning (BMD) for $D_t$. We randomize the Jordan arc $γ$ according to a system of probability measures on the family of equivalence classes of Jordan arcs that enjoy a domain Markov property and a certain conformal invariance property. We show that the induced process $(ξ(t), {\bf s}(t))$ satisfies a Markov type stochastic differential equation, where $ξ(t)$ is a motion on $\partial {\mathbb H}$ and ${\bf} s(t)$ represents the motion of the endpoints of the slits $\{C_k(t),\; 1\le k\le N \}.$ Conversely, given such functions $α$ and $b$ with local Lipschitz continuity, the corresponding SDE admits a unique solution $(ξ(t), {\bf s}(t))$. The latter produces random conformal maps $g_t(z)$ via the Komatu-Loewner equation. The resulting family of random growing hulls $\{F_t\}$ from the conformal mappings is called ${ m SKLE}_{α,b}.$ We show that it enjoys a certain scaling property and a domain Markov property. Among other things, we further prove that ${ m SKLE}_{α,-b_{ m BMD}}$ for a constant $α>0$ has a locality property if and only if $α= \sqrt{6}$, where $b_{ m BMD}$ is a BMD-domain constant that describes the discrepancy of a standard slit domain from ${\mathbb H}$ relative to BMD.

研究の動機と目的

• 単連結領域から、互いに不連続な水平スリットを有限個もつ標準的スリット領域へのシュラム・ルーネル方程式（SLE）の拡張を目的とする。
• 複素数個のスリット領域におけるランダムに成長するハルの駆動過程を、確率的コマツ・ルーネル方程式（SKLE）を用いて特徴づけること。
• SKLEが局所性を満たす条件を確立し、$\mathrm{SLE}_6$の主要な特徴を一般化すること。
• ブラウン運動とダーニングを用いた領域における上半平面からのずれの尺度としてのBMD領域定数$b_{\text{BMD}}$を定義し、その分析を行うこと。

提案手法

• 無限遠点における水力学的正規化を満たす、$D \setminus \gamma[0,t]$から変化するスリット領域$D_t$への正則写像$g_t$を用いて、スリット領域におけるコマツ・ルーネル方程式を形式化する。
• ドメインマルコフ性およびコンフォーマル不変性の性質を満たす確率測度系を用いて、駆動曲線$\gamma$を確率的に行う。
• $(\xi(t), \mathbf{s}(t))$の過程に対するマルコフ型SDEを導出する。ここで$\xi(t)$は$\partial\mathbb{H}$上を動く運動であり、$\mathbf{s}(t)$はスリット端点を追跡する。拡散係数$\alpha$（同次次元0）と漂移$b$（同次次元-1）を有する。
• スリット端点$\mathbf{s}(t)$の漂移係数が、リプシッツ連続であるBMD複素ポアソン核に依存することを示す。
• 係数$\alpha$と$b$が局所リプシッツ連続である限り、SDEの解の存在と一意性を証明し、コマツ・ルーネル方程式を用いたランダムなコンフォーマル写像の構成を可能にする。
• 得られるランダムに成長するハル$\{F_t\}$を$\mathrm{SKLE}_{\alpha,b}$として定義し、そのスケーリングおよびドメインマルコフ性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数のスリットを持つ標準的スリット領域へのSLEの正しい一般化は何か？ その駆動過程を記述するSDEは何か？
• RQ2 SKLEプロセスが局所性を満たす条件は何か？ これはBMD領域定数とどのように関係するか？
• RQ3 BMD複素ポアソン核は、SKLEフレームワークにおけるスリット進化の漂移係数にどのように影響を与えるか？
• RQ4 係数$\alpha$と$b$の同次性は、$\xi(t)$および$\mathbf{s}(t)$を記述するSDEにおいて果たす役割は何か？
• RQ5 SKLEフレームワークは、複素数個のスリット領域において$\mathrm{SLE}_6$の局所性を回復できるか？ もしそうなら、どの$\alpha$の値に対して成立するか？

主な発見

• SKLEプロセス$\mathrm{SKLE}_{\alpha, -b_{\text{BMD}}}$が局所性を示すのは、$\alpha = \sqrt{6}$である場合に限り、これは$\mathrm{SLE}_6$の主要な特徴を複素数個のスリット領域へ一般化したものである。
• スリット端点$\mathbf{s}(t)$の漂移係数はBMD複素ポアソン核に依存し、そのリプシッツ連続性によりSDEの適切な定式化が保証される。
• $(\xi(t), \mathbf{s}(t))$のSDEは、拡散係数$\alpha$が同次次元0、漂移$b$が同次次元-1であり、$\alpha$と$b$は局所リプシッツ連続である。
• SDEの解は、コマツ・ルーネル方程式を用いて一意なランダムなコンフォーマル写像$g_t(z)$の族を生成し、ドメインマルコフ性およびスケーリング性を有するランダムに成長するハル$F_t$をもたらす。
• BMD領域定数$b_{\text{BMD}}$は、$b = \lim_{z \to 0} (\pi \widehat{\Psi}(z,0) + 1/z)$として定義され、ブラウン運動とダーニングを用いた領域における$\mathbb{H}$からのずれを定量化する。
• ハーフプレーン容量は、$r_t \to 0$における漸近的挙動$a_t = \frac{2}{\pi} r_t M_1^*(t) (1 + O(r_t))$を用いて特徴づけられ、容量がBMDグリーン関数およびポアソン核と関連づけられる。