[論文レビュー] Stochastic nonlinear Schrödinger equations: no blow-up in the non-conservative case

Viorel Barbu, Michael Röckner+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非保存的かつ集束型質量-(超)臨界的状態における確率的非線形シュレーディンガー方程式において、大きな乗法的ガウスノイズが有限時間 blow-up を防ぐことを確立している。ドリフト係数における大きな実部を持つノイズを加えることで、任意の有限時間区間 [0,T] における blow-up の確率は、ノイズ強度が増加するにつれて 1 に近づき、空間的に独立したノイズの場合は、[0,∞) において高確率で blow-up が防がれる。

ABSTRACT

This paper is devoted to the study of noise effects on blow-up solutions to stochastic nonlinear Schrödinger equations. It is a continuation of our recent work \cite{BRZ14}, where the (local) well-posedness is established in $H^1$, also in the non-conservative critical case. Here we prove that in the non-conservative focusing mass-(super)critical case, by adding a large multiplicative Gaussian noise, with high probability one can prevent the blow-up on any given bounded time interval $[0,T]$, $0

研究の動機と目的

• 乗法的ノイズが非保存的かつ集束型の質量-(超)臨界的状態における確率的非線形シュレーディンガー方程式（SNLS）における blow-up 形成に与える影響を調査すること。
• ノイズが有限時間 blow-up を抑制または遅延させるかどうか、特にノイズが blow-up を加速する可能性がある保存的状態とは対照的に検討すること。
• 有限時間および無限時間区間における blow-up がほとんど確実に防がれるためのノイズ係数に関する十分条件を確立すること。
• H^1 における既存の正規性結果を非保存的設定に拡張し、ノイズが特異性防止に果たす役割を分析すること。

提案手法

• 本研究では、スケーリング変換とストリコフ推移を用いて、乗法的ノイズを伴う SNLS の H^1 における正規性を確立している。
• 解の成長を制御し、事前推定を得るために、Lyapunov 型汎関数 V(X(t)) = |X(t)|_{H^1}^2 を用いている。
• Ito の公式を H^1 範数および運動量に適用し、バーグシュタイン＝デイヴィス＝ギュンディー不等式を用いて確率積分を慎重に取り扱っている。
• 解の局所化と勾配ノルムの制御のために停止時刻の議論を用い、正則化パラメータが 0 に近づく極限をとっている。
• ノイズは、空間依存係数を有する有限次元の乗法的ウィーナー過程としてモデル化されており、係数 μ の実部が 0 でない（非保存的状態）。
• 空間関数 e_j(ξ) = f_j(ξ) + c_j を仮定し、f_j は有界かつ滑らかであり、c_1 を大きくしてノイズ効果を支配させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非保存的かつ集束型の質量-(超)臨界的確率的非線形シュレーディンガー方程式において、大きな乗法的ノイズは有限時間区間 [0,T] における有限時間 blow-up を防げるか？
• RQ2 空間的に独立したノイズが存在する場合、無限時間区間 [0,∞) において blow-up がほとんど確実に防がれるか？
• RQ3 非保存的状態におけるノイズ効果は、ノイズが blow-up を加速する可能性がある保存的状態とどのように異なるか？
• RQ4 ノイズ係数（特に μ_j の実部）にどのような条件が、高確率で blow-up を抑制するのに十分か？
• RQ5 ノイズの強度（c_1 で制御される）が、blow-up 防止の確率にどの程度影響を与えるか？

主な発見

• 任意の固定初期データ x ∈ H^1 および任意の有限時間 T > 0 に対して、解が [0,T] で blow-up しない確率は、ノイズ強度 c_1 → ∞ のとき 1 に近づく。
• ノイズが空間的に独立している（すなわち f_j が定数である）場合、解は [0,∞) において高確率で blow-up しない。
• 非保存的状態（ある j に対して Re(μ_j) ≠ 0）では、ノイズ効果が保存的状態とは根本的に異なる。保存的状態ではノイズが blow-up を加速することがある。
• blow-up 防止は、確率的ドリフトとエネルギーに類似した Lyapunov 決定関数の相乗作用によって達成され、事前推定および Gronwall 型の議論によって制御される。
• 証明は停止時刻の技法と解の H^1 範数に対する一様な有界性に依存しており、解が高確率で正則のままであることを保証する。
• 結果は、質量-(超)臨界的領域 α ∈ [1 + 4/d, 1 + 4/(d−2)+) において成り立ち、決定論的 blow-up が発生する物理的に重要な集束型ケースを含む。