[論文レビュー] Stochastic processes on non-Archimedean spaces. II. Stochastic antiderivational equations

S. V. Lüdkovsky|ArXiv.org|Apr 5, 2001

advanced mathematical theories参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、局所有理体上の非アルキメデス的バナッハ空間における確率的アンチ微分方程式の解の存在および一意性を確立し、古典的確率解析をp進設定へ拡張する。非アルキメデス的ガウス測度およびウィエンヤール過程の類似物を導入し、イト型の公式を証明し、生成作用素作用素の弱連続性およびコンパクト性の条件下で確率過程の生成作用素を導出する。

ABSTRACT

Stochastic antiderivational equations on Banach spaces over local non-Archimedean fields are investigated. Theorems about existence and uniqiuness of the solutions are proved under definite conditions. In particular Wiener processes are considered in relation with the non-Archimedean analog of the Gaussian measure.

研究の動機と目的

• 非アルキメデス的関数解析における確率的アンチ微分方程式の理論を構築し、p進空間および非アルキメデス的空間における確率過程のギャップを埋める。
• 特に局所有理体上のバナッハ空間の文脈において、ガウス測度およびウィエンヤール過程の非アルキメデス的類似物を定義し、それらを研究する。
• 生成作用素作用素がコンパクトかつ弱連続である条件のもとで、確率的アンチ微分方程式の解の存在および一意性定理を証明する。
• 非アルキメデス的イト公式のバージョンを用いて、確率過程の族の生成作用素を導出する。
• 非アルキメデス的位相群上の擬不変測度およびユニタリ表現の基礎を、確率的力学系を通じて提供する。

提案手法

• 本稿は、指数的減衰および加法的特徴関数を含む特性関数を用いて、非アルキメデス的バナッハ空間上にqガウス型円柱測度を定義する。
• qガウス測度のσ加法性は、q有界線形作用素空間内に単射コンパクト作用素が存在することを示すことによって証明される。
• 進化作用素U(t,s)を用いて、非アルキメデス的コーシー問題∂U/∂s = -U A(s)、U(t,t) = Iの形で確率的アンチ微分方程式を定式化する。
• 生成作用素A(t)の有界性および連続性の条件下で、進化作用素を用いた反復近似により解を構成し、収束を確立する。
• 摂動推定式||Ũ(t,s) - U(t,s)|| ≤ M M̃ sup_u ||Ã(u) - A(u)|| Rが導出され、生成作用素の小さな摂動に対しても安定性が保証される。
• 確率過程η = f(t, ξ(t,ω))の生成作用素は、偏微分および過程とその増分に関する反復積分を含む非アルキメデス的イト型公式を用いて導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アルキメデス的バナッハ空間上における確率的アンチ微分方程式が、どのような条件下で一意解をもつか。
• RQ2 qガウス測度を用いて、非アルキメデス的ウィエンヤール過程をどのように定義できるか。
• RQ3 非アルキメデス的設定における確率過程の生成作用素の構造は何か。また、これは古典的イト公式をどのように一般化するか。
• RQ4 生成作用素の摂動は、解の進化族にどのように影響を与えるか。
• RQ5 コンパクト作用素および弱連続作用素は、解の存在および収束を保証するために果たす役割は何か。

主な発見

• c₀(ω₀, K)上に定義された非負のqガウス測度は、L_q(c₀(ω₀, K))内に単射コンパクト作用素Jが存在するときかつそのときに限りσ加法的である。
• 初期データがL^q(Ω, F, λ; H)に属する場合、確率的アンチ微分方程式は球B_R内に一意解をもつ。解はξ(t,ω) = T(t,t₀;ω)ξ(t₀;ω)として表され、Tは乗法的作用素関数である。
• 進化作用素U(t,s)は、すべてのt,s,u ∈ B(K,0,R)に対して半群性質U(t,s)U(s,u) = U(t,u)を満たし、Aが定数のときEXP((t-s)A)に簡約される。
• 弱連続生成作用素A(t)に対して、進化作用素U(t,s)は弱解として存在し、すべてのe* ∈ Y*, η ∈ Yに対してe*U(t,s)ηはtに関して微分可能である。
• 摂動境界が確立され、||Ũ(t,s) - U(t,s)|| ≤ M M̃ sup_u ||Ã(u) - A(u)|| Rが成り立ち、生成作用素が摂動されても安定性が保証される。
• 過程η = f(t,ξ(t,ω))の生成作用素は、偏微分、反復積分、射影作用素を含む級数として明示的に導出され、古典的イト公式が非アルキメデス的状況に一般化される。