[論文レビュー] Stochastic stability of sectional-Anosov flows

R. Metzger, C. A. Morales|arXiv (Cornell University)|May 7, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンパクト多様体上の $C^2$ で軌道的 sectional-Anosov フローが、一意な SRB 測度を持つことを確立し、小さな確率的摂動に対してその測度が確率的安定であることを示している。証明は、擬軌道の双曲的類似の振る舞い、Volumen レンマによる体積推定、摂動下での遷移確率と不変測度のカップリングに依拠しており、Kifer の確率的安定性結果を、多次元 Lorenz 吸引子を含むより広いクラスのフローへと拡張している。

ABSTRACT

A {\em sectional-Anosov flow} is a vector field on a compact manifold inwardly transverse to the boundary such that the maximal invariant set is sectional-hyperbolic (in the sense of \cite{mm}). We prove that any $C^2$ transitive sectional-Anosov flow has a unique SRB measure which is stochastically stable under small random perturbations.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体上の $C^2$ で軌道的な sectional-Anosov フローに対して、SRB 測度の存在と一意性を確立すること。
• 従来、幾何的 Lorenz 吸引子に対してのみ知られていた SRB 測度の確率的安定性を、一般の $C^2$ で軌道的な sectional-Anosov フローへと拡張すること。
• Viana が提起した多次元 Lorenz 吸引子の場合の確率的安定性に関する問題を解決すること。
• 3次元で軌道的な場合に既に得られている SRB 測度に関する先行結果を、任意次元および非軌道的 codimension-one 場合へと一般化すること。

提案手法

• 流れの進化に伴う集合の測度を制御するために、Volumen レンマと体積増大の推定を用いる。
• 時間経過における特異点への到達確率を抑え込むために、Chapman-Kolmogorov 方程式を適用する。
• 小さな確率的摂動をモデル化するために、$\rho$-擬軌道と遷移確率測度 $P^\rho$ を用いる。
• Ruelle-Pliss の定理と双曲的性質の推定を用いて、安定方向および中心方向に沿った微分のノルムとコノールムを抑え込む。
• Kifer の確率的摂動の枠組み、特に [7] の定理 2.1 と補題 3.10 を用いて、遷移確率の減衰を制御する。
• 問題を接続バンドルに持ち上げ、指数的減衰推定を用いて、軌道が擬軌道から逸脱する確率を抑え込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト多様体上の $C^2$ で軌道的な sectional-Anosov フローは、一意な SRB 測度を持つのか？
• RQ2 $C^2$ で軌道的な sectional-Anosov フローの SRB 測度は、小さな確率的摂動に対して確率的安定か？
• RQ3 Anosov 系のクラスを越えて、多次元 Lorenz 吸引子のようなフローに対しても確率的安定性を確立できるか？
• RQ4 中心方向が sectional-Anosov システムの確率的安定性において果たす役割は何か？
• RQ5 擬軌道追跡と体積増大推定は、非一様双曲的状況における確率的安定性の証明にどのように寄与するか？

主な発見

• コンパクト多様体上の $C^2$ で軌道的な sectional-Anosov フローは、一意な SRB 測度を持つ。
• 一意な SRB 測度は、小さな確率的摂動に対して確率的安定であり、摂動されたマルコフ連鎖の定常測度が弱収束で元の SRB 測度に収束することを意味する。
• 証明は、$\rho = \rho(\beta)$ を用いた $\rho$-擬軌道により、特異点に近づく軌道の確率を制御することに依拠している。ここで $\beta < 1/5$ である。
• 流れの体積増大は指数的減衰率 $K^{-1}e^{\rho t}$ で抑えられ、繰り返しによる集合の測度が制御されることを保証する。
• 遷移確率 $P^\rho$ は小さなノイズの極限条件を満たしており、$\varepsilon \to 0$ の極限で決定的フローに収束することが保証され、これが確率的安定性に不可欠である。
• 特異点集合の近傍に到達する確率に対する最終的な上限は $O(\varepsilon^{-m} \lambda^{-l} \text{mes}(\Gamma))$ であり、$l$ に関して指数的に減少するため、安定性結果が裏付けられる。