[論文レビュー] Stochastic Symplectic and Multi-Symplectic Methods for Nonlinear Schrödinger Equation with White Noise Dispersion

Jianbo Cui, Jialin Hong+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2016

Numerical methods for differential equations参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ホワイトノイズ分散を伴う非線形シュレーディンガー方程式に対する確率的シンプレクティックおよびマルチシンプレクティック積分法を提案し、電荷保存則とシンプレクティック構造を保存する。これらの手法は確率的意味での時間精度1次を達成し、数値実験において非シンプレクティックスキーム（Euler-Maruyama法など）よりも優れた長期安定性および保存性を示す。

ABSTRACT

We indicate that the nonlinear Schrödinger equation with white noise dispersion possesses stochastic symplectic and multi-symplectic structures. Based on these structures, we propose the stochastic symplectic and multi-symplectic methods, which preserve the continuous and discrete charge conservation laws, respectively. Moreover, we show that the proposed methods are convergent with temporal order one in probability. Numerical experiments are presented to verify our theoretical results.

研究の動機と目的

• ホワイトノイズ分散を伴う非線形シュレーディンガー方程式における確率的シンプレクティックおよびマルチシンプレクティック構造を特定・利用すること。
• 確率的偏微分方程式の内在的な幾何学的性質および保存則を保持する数値スキームを開発すること。
• 特に時間精度1次を含む、提案スキームの確率的収束率を確立すること。
• 数値実験を通じて、長期的安定性および保存性の挙動を検証すること。

提案手法

• 確率的微分形式および変分原理を用いて、ホワイトノイズ分散を伴うNLS方程式の確率的シンプレクティックおよびマルチシンプレクティック構造を導出する。
• 確率的シンプレクティック構造に基づき、中点法およびリー分割スキームの2つの時間半離散化を提案し、電荷保存則およびシンプレクティック性を保証する。
• 中点スキームに空間中心差分を適用して完全離散化を構築し、離散的電荷保存則および確率的マルチシンプレクティック構造の両方を保持するスキームを得る。
• 確率的セミ群のユニタリティおよび減衰推定を用いて、切断問題における平均二乗精度1次を導出し、元の問題における確率的意味での1次収束を示す。
• 切断補題を適用して、決定的状態からの空間離散化誤差推定を確率的状態へ拡張する。
• 参照解を用いた数値的検証を行い、非シンプレクティックなEuler-Maruyamaスキームと比較して電荷保存性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホワイトノイズ分散を伴う非線形シュレーディンガー方程式は、確率的シンプレクティックおよびマルチシンプレクティック構造を有するか？
• RQ2 確率的状態において、電荷保存則とシンプレクティック性の両方を保持する数値スキームを構築可能か？
• RQ3 このようなシンプレクティックスキームの確率的収束率はいかほどか？
• RQ4 非シンプレクティック手法と比較して、シンプレクティックスキームは長期シミュレーションでどのように性能を発揮するか？
• RQ5 提案スキームは、長時間にわたり分散と非線形性のバランスを維持するか？

主な発見

• ホワイトノイズ分散を伴う非線形シュレーディンガー方程式は、確率的微分形式を用いた厳密な導出により、確率的シンプレクティックおよびマルチシンプレクティック構造を有することが示された。
• 提案された中点法およびリー分割スキームは、離散的電荷保存則および確率的シンプレクティック構造を保持しており、数値積分における幾何的整合性を保証する。
• 切断された確率的セミ群解析を用いて、初期データが $H^{s+10}$（中点法）および $H^{s+4}$（リー分割）に属する場合に、時間精度1次（確率的意味）を達成することが証明された。ここで $s > \frac{1}{2}$ である。
• 完全離散化されたマルチシンプレクティックスキームは、離散的確率的マルチシンプレクティック保存則および電荷保存則の両方を保持する。
• 数値実験により、理論的収束率（確率的意味で約1）が確認され、両スキームの収束曲線の勾配が1に非常に近いことが示された。
• シンプレクティックスキームは優れた長期的挙動を示し、電荷保存則を正確に維持するが、非シンプレクティックなEuler-Maruyamaスキームは電荷保存則のグローバル誤差が増大する傾向を示した。