[論文レビュー] Stochastic systems with memory and jumps

David Baños, Francesco Cordoni+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、無限活性なジャンプを伴うLévy過程によって駆動される確率的関数遅延微分方程式（SFDDEs）の存在、一意性、およびモーメント推定値を、無限次元の微積分と確率的正則化を用いて確立する。パスに依存する伊藤の公式を導出し、ジャンプを補正されたガウスノイズに置き換えるノイズ置換において解のロバスト性を証明する。これにより、不連続なダイナミクスを示す系における記憶効果の分析が可能になる。

ABSTRACT

Stochastic systems with memory naturally appear in life science, economy, and finance. We take the modelling point of view of stochastic functional delay equations and we study these structures when the driving noises admit jumps. Our results concern existence and uniqueness of strong solutions, estimates for the moments and the fundamental tools of calculus, such as the Itô formula. We study the robustness of the solution to the change of noises. Specifically, we consider the noises with infinite activity jumps versus an adequately corrected Gaussian noise. The study is presented in two different frameworks: we work with random variables in infinite dimensions, where the values are considered either in an appropriate $L^p$-type space or in the space of càdlàg paths. The choice of the value space is crucial from the modelling point of view as the different settings allow for the treatment of different models of memory or delay. Our techniques involve tools of infinite dimensional calculus and the stochastic calculus via regularization.

研究の動機と目的

• 記憶効果とジャンプを有する確率的系の厳密なフレームワークを構築し、古典的SDE理論をパスに依存するダイナミクスに拡張すること。
• 特に無限次元パス空間において、ジャンプ駆動のSFDDEsに対して伊藤微積分のツールが不足している問題を解決すること。
• 一般のLévyノイズ（無限活性なジャンプを含む）を伴うSFDDEsの強い解の存在と一意性を証明すること。
• ノイズ置換（ジャンプを補正されたガウスノイズに置き換えること）における解のモーメント推定値とロバスト性を確立すること。
• 正則化技術を通じてパスに依存する微積分と無限次元の微積分を統合し、ファイナンスおよび生命科学への応用を可能にすること。

提案手法

• 無限次元パス空間 $\mathcal{D}([-r,0];\mathbb{R}^d)$ や $L^p$-型空間において、記憶効果を有する確率的系を確率的関数遅延微分方程式（SFDDEs）でモデル化する。
• Banach空間値過程に対する確率的積分と伊藤の公式を定義するために、正則化による確率的微積分を適用する。
• パスに依存する汎関数を $\mathcal{D}([0,t];\mathbb{R}^d)$ 上の汎関数から $\mathcal{D}([-r,0];\mathbb{R}^d) \times \mathbb{R}^d$ 上の汎関数へ関連付けるために、後向き拡張作用素 $L_t$ とシフト作用素 $M_t$ を用いる。
• フレシェ微分と時間微分を用いて縦方向および横方向の微分を表現することで、パスに依存する伊藤の公式を導出する。
• Lévy過程による無限活性なジャンプを伴うSFDDEsと、補正されたガウスノイズによって駆動されるSFDDEsを比較することで、解のロバスト性を確立する。
• 最近の無限次元確率的解析の進展に基づき、Banach空間における二次変動の概念を用いて、無限次元における伊藤の公式を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャンプ拡散によって駆動される確率的関数遅延微分方程式（SFDDEs）に対して、伊藤の公式をどのように一般化できるか？
• RQ2 無限活性なLévyノイズを伴うSFDDEsの強い解の存在と一意性を保証する条件は何か？
• RQ3 ジャンプノイズによって駆動されるSFDDEsのモーメント推定値とガウスノイズによって駆動されるものとの間には、どのような相違があるか？
• RQ4 ジャンプノイズを補正されたガウスノイズに置き換えた場合、SFDDEの解はどのような意味でロバスト性を示すか？
• RQ5 無限次元微積分と正則化技術を用いて、記憶効果のパス依存性をどのように形式化し、分析できるか？

主な発見

• 適切なリプシッツ条件および成長条件の下で、無限活性なジャンプを伴うLévy過程によって駆動されるSFDDEsの強い解の存在と一意性が確立された。
• 解のモーメント推定値が導出され、$p$-次のモーメントが時間に対して指数関数的に増大する可能性があることが示され、その境界はノイズの特性に依存する。
• 正則化による確率的微積分を用いてパスに依存する伊藤の公式が導出され、係数の適切な正則性の下では、無限次元伊藤の公式と一致する。
• SFDDEの解はノイズ置換に対してロバストである：適切に補正されたガウスノイズに置き換えた場合、$L^p$-ノルムにおいて元の解に近い解が得られる。
• 解汎関数の縦方向微分は現在の状態に関する微分に対応し、横方向微分は後向き拡張作用素を介して過去のパスに沿った汎関数の微分を含む。
• 本フレームワークにより、過去の全パスに依存するダイナミクスを有する記憶系のモデル化が可能となり、応用状況に応じて $L^p$-型空間または càdlàg パス空間の両方で解析が可能になる。