[論文レビュー] A regularization approach to functional Itô calculus and strong-viscosity solutions to path-dependent PDEs

Andrea Cosso, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 40被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、端点でのジャンプを許容する有界かつ左連続な軌道の間隔空間を介在させることで、正則化に基づく関数的イト計算を提示する。これにより、水平微分と垂直微分が明確に定義可能となる。パス依存型偏微分方程式（PDE）に対して、強粘性解の存在および一意性が確立され、特にパス依存型熱方程式についても同様に示される。さらに、有限次元における半線形PDEに関して、強粘性解と古典的粘性解が同等であることを証明する。

ABSTRACT

First, we revisit functional Itô/path-dependent calculus started by B. Dupire, R. Cont and D.-A. Fournié, using the formulation of calculus via regularization. Relations with the corresponding Banach space valued calculus introduced by C. Di Girolami and the second named author are explored. The second part of the paper is devoted to the study of the Kolmogorov type equation associated with the so called window Brownian motion, called path-dependent heat equation, for which well-posedness at the level of classical solutions is established. Then, a notion of strong approximating solution, called strong-viscosity solution, is introduced which is supposed to be a substitution tool to the viscosity solution. For that kind of solution, we also prove existence and uniqueness. The notion of strong-viscosity solution motivates the last part of the paper which is devoted to explore this new concept of solution for general semilinear PDEs in the finite dimensional case. We prove an equivalence result between the classical viscosity solution and the new one. The definition of strong-viscosity solution for semilinear PDEs is inspired by the notion of "good" solution, and it is based again on an approximating procedure.

研究の動機と目的

• 正則化による確率積分を用いて、càdlàg拡張に依存しない関数的イト計算の再定式化を図ること。
• 連続過程に対する関数的微分を厳密に定義可能とするために、有界かつ左連続な経路の空間 $\mathscr{C}([-T,0])$ を定義すること。
• パス依存型PDEにおける古典的粘性解の代替として、強粘性解を導入し、その性質を検討すること。
• パス依存型熱方程式および一般の半線形PDEに対して、強粘性解の存在および一意性を証明すること。
• 有限次元の半線形ケースにおいて、強粘性解と古典的粘性解の同等性を確立すること。

提案手法

• 空間 $\mathscr{C}([-T,0])$ を、$[-T,0]$ 上で有界で、$[-T,0[$ で連続であり、0でジャンプを許容する関数の集合と定義し、$C([-T,0])$ がその位相に関して稠密になるように位相を備える。
• 位相 $\mathscr{C}([-T,0])$ を用いて、$\mathcal{U}: [0,T] \times C([-T,0]) \to \mathbb{R}$ で定義された汎関数を $u: [0,T] \times \mathscr{C}([-T,0]) \to \mathbb{R}$ に連続に拡張する。
• 正則化技術を用いて、$\mathscr{C}([-T,0])$ 上で関数的イト計算を展開し、水平微分と垂直微分を独立に定義する。
• 正則化に基づく近似手続きを用いて強粘性解の概念を導入し、標準的な粘性解の枠組みに代わる枠組みを構築する。
• あらかじめ得られる推定と $\mathbb{L}^q$（$q \in [1,2)$）における収束議論を用いて、パス依存型熱方程式に対する強粘性解の存在および一意性を証明する。
• 強粘性解と古典的粘性解の同等性を、同じ比較原理と安定性を満たすことを示すことにより、半線形PDEに対して確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則化技術を用いた関数的イト計算の再定式化により、経路ごとの拡張問題を回避することは可能か？
• RQ2 中間空間 $\mathscr{C}([-T,0])$ は、連続パス過程に対する関数的微分を明確に定義するために果たす役割は何か？
• RQ3 正則化に基づく代替として、パス依存型PDEに対する強粘性解を定義することは可能か？
• RQ4 パス依存型熱方程式に対する強粘性解の存在および一意性を保証する条件は何か？
• RQ5 有限次元の半線形ケースにおいて、強粘性解と古典的粘性解の間に同等性が成立するか？

主な発見

• 空間 $\mathscr{C}([-T,0])$ を用いることで、$C([-T,0])$ 上で定義された汎関数を連続的に拡張でき、水平微分と垂直微分を厳密に定義可能となる。
• 正則化を用いて導出された関数的イトの公式は、Di GirolamiとRussoのバナッハ空間値関数の微積分枠組みにおけるものと同等である。
• あらかじめ得られる推定と $\mathbb{L}^q$（$q \in [1,2)$）における収束議論を用いて、パス依存型熱方程式に対する強粘性解の存在および一意性が確立された。
• 有限次元の半線形PDEに対して、強粘性解は古典的粘性解と同一の比較原理と安定性を満たす。
• 標準的な仮定の下で、強粘性解の概念は古典的粘性解と同等であり、$\mathbb{L}^q$（$q \in [1,2)$）における近似列の収束が成立する。
• 同等性の証明には、二重近似の議論と、局所等連続性の下での二重数列の点ewise収束に関する実解析の補題が用いられる。