[論文レビュー] Stochastic Target Games and Dynamic Programming via Regularized Viscosity Solutions

Bruno Bouchard, Marcel Nutz|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2013

Stochastic processes and financial applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、モデル不確実性下での確率的ターゲットゲームに対して、幾何的動的計画法の原則を発展させた。ここで1人のプレイヤーは、敵対的コントロールに対しても確実にターゲットを達成しなければならない。本稿では、滑らかな上位解を用いた正則化に基づく新規なアプローチを導入し、可測でほぼ最適なマルコフ戦略を構築した。これにより、非線形偏微分方程式（PDE）の有界なバシキュリス解としての価値関数の特徴付けが可能になった。

ABSTRACT

We study a class of stochastic target games where one player tries to find a strategy such that the state process almost-surely reaches a given target, no matter which action is chosen by the opponent. Our main result is a geometric dynamic programming principle which allows us to characterize the value function as the viscosity solution of a non-linear partial differential equation. Because abstract mea-surable selection arguments cannot be used in this context, the main obstacle is the construction of measurable almost-optimal strategies. We propose a novel approach where smooth supersolutions are used to define almost-optimal strategies of Markovian type, similarly as in ver-ification arguments for classical solutions of Hamilton--Jacobi--Bellman equations. The smooth supersolutions are constructed by an exten-sion of Krylov's method of shaken coefficients. We apply our results to a problem of option pricing under model uncertainty with different interest rates for borrowing and lending.

研究の動機と目的

• 敵対的コントロール下でも確実にターゲットを達成しなければならない確率的ターゲットゲームに対して、幾何的動的計画法（GDP）を確立すること。
• 非マルコフ的かつ非可分な戦略空間において、可測でほぼ最適な戦略を構築するという根本的な課題を克服すること。
• クリロフの係数の振盪法を用いた新規な正則化技術を開発し、滑らかで有界な上位解を構築することで、マルコフ戦略を生成すること。
• 非線形ハミルトニアン＝ジャコビ＝ベルマン方程式の有界なバシキュリス解として、価値関数を特徴付けること。
• 異なる貸出・貸入金利を伴うモデル不確実性下でのオプションプライシングにこのフレームワークを適用し、ニーマン的不確実性を捉えること。

提案手法

• 敵対的コントロールを伴う確率的ターゲットゲームに一般化された古典的GDPを越えた幾何的動的計画法（GDP）を導入すること。
• HJB方程式の滑らかな上位解を基に、正則化手順を用いてほぼ最適なマルコフ戦略を構築すること。
• クリロフの係数の振盪法を用いて、滑らかで一様有界な上位解を構築し、必要な正則性および成長条件を満たすこと。
• 上位解の滑らかさと一様有界性を活用して、可測な選択肢としてのほぼ最適戦略の存在を確立すること。
• 価値関数が、コントロールの下でのインフィミウムを含む非線形PDEの有界なバシキュリス解として一意に特徴付けられることを証明すること。
• ドレアン＝ダッドの指数を用いた同値測度の下での下位 martingale 論法を用いて、境界条件および価値関数の連続性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可測選択論法が失敗する状況において、敵対的コントロールを伴う確率的ターゲットゲームに対して幾何的動的計画法（GDP）を確立できるか？
• RQ2 戦略空間における可分性の欠如および相手のコントロールへの不規則な依存性がある状況で、ほぼ最適戦略をどのように構築できるか？
• RQ3 クリロフの係数の振盪法をゲーム理論的設定に拡張し、可測でマルコフ的なほぼ最適戦略を生成する滑らかな上位解を構築できるか？
• RQ4 確率的ボラティリティと異なる貸出・貸入金利を伴うモデルにおける、スーパーヘッジプライスのPDE的特徴付けは何か？
• RQ5 ドリフトとボラティリティが敵対的プレイヤーによって制御される状況において、価値関数はニーマン的不確実性下でどのように振る舞うか？

主な発見

• 価値関数は連続的であり、ハミルトニアン＝ジャコビ＝ベルマン作用素のコントロールに関するインフィミウムを含む非線形PDEの唯一の有界バシキュリス解である。
• 提示された正則化フレームワークの下で、GDP1およびGDP2を満たす幾何的動的計画法（GDP）が確立された。
• クリロフの係数の振盪法により構築された滑らかな上位解は、可測でマルコフ的なほぼ最適戦略を生成し、可測選択問題を克服した。
• 異なる貸出・貸入金利を伴うモデル不確実性下でのスーパーヘッジプライスは、特定のHJB構造を持つ非線形PDEの解として特徴付けられた。
• 価値関数は同値測度の族の下で下位 martingale 性質を満たし、連続性および有界性が保証された。
• このフレームワークは、ドリフトとボラティリティが敵対的プレイヤーによって制御され、金利が取引方向に依存する金融問題に適用可能である。