[論文レビュー] Time-Inconsistent Stochastic Linear--Quadratic Control

Ying Hu, Hanqing Jin+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、期待状態における2次項と状態に依存する項を含む一般化された時不一致確率的線形二次（LQ）制御問題を定式化し、オープンループ戦略を用いて均衡制御を定義する。時間に依存する前向き・後向き確率的微分方程式（FBSDE）の流れを用いて均衡の十分条件を導出し、スカラーで決定論的な場合の明示的均衡制御を取得した。この枠組みを、確率的市場パラメータ下での平均分散ポートフォリオ選択に適用した。

ABSTRACT

In this paper, we formulate a general time-inconsistent stochastic linear--quadratic (LQ) control problem. The time-inconsistency arises from the presence of a quadratic term of the expected state as well as a state-dependent term in the objective functional. We define an equilibrium, instead of optimal, solution within the class of open-loop controls, and derive a sufficient condition for equilibrium controls via a flow of forward--backward stochastic differential equations. When the state is one dimensional and the coefficients in the problem are all deterministic, we find an explicit equilibrium control. As an application, we then consider a mean-variance portfolio selection model in a complete financial market where the risk-free rate is a deterministic function of time but all the other market parameters are possibly stochastic processes. Applying the general sufficient condition, we obtain explicit equilibrium strategies when the risk premium is both deterministic and stochastic.

研究の動機と目的

• 標準的な動的プログラミングが、期待効用でない項を含むため失敗する、時不一致確率的LQ制御問題に対処すること。
• 従来の研究がフィードバック制御に制限するのに対し、より広いクラスのオープンループ制御に限定せずに、均衡制御を定義すること。
• 時間に依存する前向き・後向き確率的微分方程式（FBSDE）の流れを用いて、均衡の一般な十分条件を導出すること。
• 既存のHJBに基づく手法が失敗する、確率的市場パラメータを伴う平均分散ポートフォリオ選択へ均衡戦略を拡張すること。
• オープンループ均衡定義とフィードバックベースの定義が異なる戦略を生じることを示し、定式化の選択の重要性を強調すること。

提案手法

• 目的関数に期待値の2次項と状態に依存する項を含む、一般化された時不一致確率的LQ制御問題を定式化する。
• ゲーム理論的視点から、任意の時点で制御から逸脱することが利益にならないという定義により、均衡制御を定義する。
• 時間とともに進化する前向き・後向き確率的微分方程式（FBSDE）の系を用いて、均衡の十分条件を導出する。
• スカラーで係数が決定論的な場合に、FBSDE系をリッカティ型常微分方程式（ODE）に簡略化し、明示的均衡制御を取得する。
• 一般枠組みを連続時間の平均分散ポートフォリオ選択に適用し、リスクプレミアムが確率的である場合にFBSDEを明示的に解く。
• 先行のフィードバック制御に基づくアプローチと結果を比較し、異なる均衡定義に起因する均衡戦略の差異を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時不一致確率的LQ制御問題をどのように再定式化すれば、事前コミットされた最適制御ではなく、動的で均衡に基づく解を得られるか？
• RQ2 オープンループ制御は、時不一致設定における均衡戦略の定義において果たす役割は何か？ また、フィードバックベースの均衡とはどのように異なるか？
• RQ3 時間パrameter化された流れを形成する前向き・後向き確率的微分方程式（FBSDE）を用いて、均衡の一般な十分条件を導出できるか？
• RQ4 確率的リスクプレミアムなどのランダムな市場パラメータは、平均分散モデルにおける均衡ポートフォリオ戦略の構造にどのように影響するか？
• RQ5 確率的パラメータ下での平均分散ポートフォリオ選択において、オープンループとフィードバックベースの均衡戦略の定量的差異は何か？

主な発見

• 本稿は、時間に依存する前向き・後向き確率的微分方程式（FBSDE）の流れを用いて、時不一致確率的LQ問題における均衡制御の一般な十分条件を導出した。
• スカラーで係数が決定論的な場合、均衡制御は線形フィードバックとして明示的に導出され、FBSDE系はリッカティ型ODEに簡略化される。
• リスクプレミアムが決定論的である場合、導出された均衡戦略は、フィードバック制御フレームワークからの結果と一致する（フィードバック成分が存在しない場合に限る）。
• リスクプレミアムが確率的である場合、本稿はオープンループ枠組みにおいて、初めて明示的な均衡戦略を提供した。これは、異なる均衡定義に起因し、フィードバックベースの結果とは異なる。
• 確率的リスクプレミアムの場合の均衡戦略は、2つの部分から構成される：1つは決定論的ケースの類似形であり、もう1つは市場の価格リスクのランダム性をヘッジする部分である。
• 結果は、均衡定義の選択（オープンループ対フィードバック）が、決定論的ケースですら根本的に異なる戦略を生じることを示しており、時不一致制御における定式化の重要性を強調している。