[論文レビュー] Stopping games in continuous time

Rida Laraki, Eilon Solan|ArXiv.org|Jun 19, 2003

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、支払い過程が右連続かつ逐次可測であるという最小限の仮定の下で、連続時間の2人零和停止ゲームにおける確率的停止時刻の価値の存在を確立する。両プレイヤーが純粋停止時刻の微小な摂動である $\varepsilon$-最適戦略を持つことを証明しており、従来の結果が条件Cや半マルティンゲール性といった制限的な条件を必要としていたのとは顕著に異なる。

ABSTRACT

We study two-player zero-sum stopping games in continuous time and infinite horizon. We prove that the value in randomized stopping times exists as soon as the payoff processes are right-continuous. In particular, as opposed to existing literature, we do not assume any conditions on the relations between the payoff processes. We also show that both players have simple epsilon- optimal randomized stopping times; namely, randomized stopping times which are small perturbations of non-randomized stopping times.

研究の動機と目的

• 連続時間の2人零和停止ゲームにおける確率的停止時刻の価値の存在を確立すること。
• 従来の文献で必要とされていた制限的な仮定（条件Cや半マルティンゲール性）を排除すること。
• 純粋停止時刻に限りなく近い、$\varepsilon$-最適戦略が存在することを示すこと。
• 累積支払いおよび最終支払いを含めるモデルへの拡張を行い、標準的な停止ゲームの定式化と同等であることを示すこと。
• 条件Cを満たさない場合でも、ダンキン（1969年）の精神に則った構成的 $\varepsilon$-最適戦略を提供すること。

提案手法

• 通常の条件を満たすフィルター付き確率空間を用いた確率的枠組み。
• プレイヤー1、プレイヤー2、および同時停止の支払いを表す3つの適応過程 $a_t$、$b_t$、$c_t$ を用いて停止ゲームを定義。
• 微小なシフトを伴う純粋停止時刻の摂動を用いて、$\varepsilon$-最適な確率的停止時刻を構成するための摂動法を適用。
• 最終支払いや累積支払いを含む問題を、条件付き期待値または統合過程を用いて支払い過程を調整することで、標準的停止ゲームに還元。
• 可測選択の議論と右連続性を用いて、最小限の正則性のもとで最適戦略の存在を保証。
• $\varepsilon$-均衡と確率的停止時刻の概念を用いて、パスごとの正則性を右連続性を超えて要求しないで価値の存在を証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 支払い過程が右連続かつ逐次可測である場合、連続時間停止ゲームにおける確率的停止時刻の価値は存在するか？
• RQ2 条件Cが成り立たない場合でも、純粋停止時刻に限りなく近い $\varepsilon$-最適戦略を構成できるか？
• RQ3 最終支払い $\chi$ または累積支払い $x_t$ を含めても、価値の存在に影響を与えることなく停止ゲームの枠組みに統合できるか？
• RQ4 純粋戦略での価値が存在する条件は何か？
• RQ5 半マルティンゲール性や有界 Variation 性の仮定なしに、一般の逐次可測過程に対して結果を拡張できるか？

主な発見

• 支払い過程 $a_t$ と $b_t$ が右連続で、$c_t$ が逐次可測である限り、任意の連続時間停止ゲームにおいて確率的停止時刻の価値が存在する。
• 両プレイヤーが、非確率的停止時刻の微小な摂動である $\varepsilon$-最適戦略を持つ。具体的には、十分に小さな $\delta > 0$ に対して、区間 $[\mu, \mu + \delta]$ 内で確率1で停止する。
• すべての $t \in [0, \tau]$ に対して $c_t \in \mathrm{co}\{a_t, b_t\}$ が成り立つ場合、価値は純粋戦略で存在する。プレイヤー1の $\varepsilon$-最適停止時刻は $\inf\{t \geq 0 : V_t^* \leq a_t^* + \varepsilon\}$、プレイヤー2のそれは $\inf\{t \geq 0 : V_t^* \geq b_t^* - \varepsilon\}$ で与えられる。
• $c_0 \in \mathrm{co}\{a_0, b_0\}$ かつすべての過程が連続である場合、ゲームは純粋戦略で価値を持つ。
• 最終支払い $\chi$ または累積支払い $x_t$ を含めても、条件付き期待値または統合過程を用いて支払い過程を調整することで、標準的停止ゲームの枠組みに還元可能である。
• $\varepsilon$-最適戦略の構成は、支払い過程が条件Cを満たす必要がなく、半マルティンゲールでもない場合でも安定している。