[論文レビュー] Stopping Times and Related Itô's Calculus with G-Brownian Motion

Xinpeng Li, Shigē Péng|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、被積分関数が擬連続でなくてもよい stochastic 積分を導入することで、$G$-ブラウン運動における新しい Itô 微積分を確立した。これにより、停止時刻区間における Itô 積分の定義が可能になった。主な貢献は、$C^{1,2}$ 関数に対する一般化された Itô 公式であり、第二導関数に多項式成長条件がない $C^2$ 関数に対しても、古典的 Itô 公式が成り立つことを証明した。

ABSTRACT

Under the framework of G-expectation and G-Brownian motion, we introduce Itô's integral for stochastic processes without assuming quasi-continuity. Then we can obtain Itô's integral on stopping time interval. This new formulation permits us to obtain Itô's formula for a general C^{1,2}-function, which essentially generalizes the previous results of Peng [20, 21, 22, 23, 24] as well as those of Gao [8] and Zhang et al. [26].

研究の動機と目的

• 擬連続過程の制約を超えて、$G$-ブラウン運動への Itô 微積分の拡張を図ること。
• $G$-期待値下での $C^2$ 関数に対する Itô 公式の定式化という未解決問題を解決すること。
• 停止時刻区間における stochastic 積分の定義を可能にすることで、Itô 微積分の応用範囲を拡大すること。
• Peng よりも前記の結果を一般化することで、非線形期待値理論の基礎的ツールを確立すること。

提案手法

• 擬連続性を要件としない stochastic 迅速の空間 $M_{ullet}^{2}(0,T)$ を新たに導入する。
• この空間上で、擬連続性制約なしに積分可能な新しい Itô 積分 $\int_0^t \eta_s dB_s$ を定義する。
• 停止時刻 $\tau$ を用いたランダム区間 $[0, \tau]$ に対しても Itô 積分を拡張し、確率的経路に沿った積分を可能にする。
• 区分定数過程による近似と $M_{ullet}^{2}(0,T)$ での収束を用いて、一般化された Itô 公式を導出する。
• 有界かつ区分定数の近似列を用いた極限操作により、$C^{1,2}$ 関数への一般化された Itô 公式を適用する。
• sublinear 期待値と $G$-正規分布の性質に依拠することで、積分の安定性と収束性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G$-ブラウン運動の文脈において、擬連続でない関数に対しても Itô 積分を定義できるか？
• RQ2 第二導関数に多項式成長条件がない $C^2$ 関数に対しても、Itô 公式は成立するか？
• RQ3 $G$-期待値枠組みにおいて、停止時刻区間における stochastic 積分を意味的に定義できるか？
• RQ4 Itô 積分 $\int_0^\cdot \eta_s dB_s$ が martingale または local martingale となる条件は何か？
• RQ5 $G$-ブラウン運動の理論を、Itô 公式における一般の $C^{1,2}$ 関数を含むようにどのように拡張できるか？

主な発見

• 被積分関数 $\eta_t$ が必ずしも擬連続でなくても、Itô 積分 $\int_0^t \eta_s dB_s$ が well-defined であることが示された。これにより、stochastic 積分の定義域が拡張された。
• 停止時刻区間 $[0, \tau]$ における Itô 積分が厳密に定義された。これにより、ランダムな終了時刻問題の取り扱いが可能になった。
• $C^{1,2}$ 関数 $\varphi$ に対して一般化された Itô 公式が証明された。$\varphi \in C^2$ に対して、$\varphi(B_t) - \varphi(B_{t_0}) = \int_{t_0}^t \varphi_x(B_s) dB_s + \frac{1}{2}\int_{t_0}^t \varphi_{xx}(B_s) d\langle B\rangle_s$ が成り立つ。
• $M_{ullet}^{2}(0,T)$ での区分定数近似列の収束により、Itô 公式の極限における安定性が保証された。
• mesh サイズがゼロに近づくにつれて誤差項が消えるように、$L^2$-型ノルムにおける一様有界性と収束性を $G$-期待値下で保証した。
• Peng の先行結果を多項式成長制約なしの $C^2$ 関数へ一般化することで、$G$-stochastic 微積分における長年の空白を埋めた。