[論文レビュー] Strange duality and the Hitchin/WZW connection

Prakash Belkale|ArXiv.org|May 4, 2007

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、曲線上のベクトル束のモジュライ空間上の線束の斉次切断の空間の間の奇妙双対写像の射影的平坦性を、源側のHitchinおよびWZW接続と、標的側のガロア被覆に基づく構成を用いて確立する。主な結果は、奇妙双対写像が射影的に平坦であることであり、これは射影的モノドロミー群が一致することを意味し、一般の場合に帰着することで、すべての曲線に対する奇妙双対性の新たな証明を提供する。

ABSTRACT

For a compact Riemann surface X of positive genus, the space of sections of certain theta bundle on moduli of bundles of rank r and level k admits a natural map to (the dual of) a similar space of sections of rank k and level r (the strange duality isomorphism). Both sides of the isomorphism carry projective connections as X varies in a family. We prove that this map is (projectively) flat.

研究の動機と目的

• 半安定ベクトル束のモジュライ空間上の線束の斉次切断の空間の間の奇妙双対写像の射影的平坦性を確立すること。
• ガロア被覆 $ SU_X(k) \times \overline{J}(X) \to U_X^*(k) $ を用いて、空間 $ H^0(U_X^*(k), \mathcal{M}^r) $ に射影接続を定義すること。
• 奇妙双対写像 $ SD: \mathcal{V}^* \to \mathcal{W} $ が射影的に平坦であることを示し、幾何学的および表現論的構造を統一すること。
• モジュライスタック上の種数 $ g $ の曲線の上で、ベクトル束 $ \mathcal{V} $ と $ \mathcal{W} $ の射影的モノドロミー群が一致することを示すこと。

提案手法

• conformal field theory より既に射影的に平坦であることが知られている $ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $ におけるHitchin/WZW接続を用いる。
• 被覆群がヤコビ多様体内の $ k $- torsion 点であるガロア被覆 $ SU_X(k) \times \overline{J}(X) \to U_X^*(k) $ を用いて、$ H^0(U_X^*(k), \mathcal{M}^r) $ に射影接続を構成する。
• 曲線の族 $ \mathcal{X} \to S $ 上で奇妙双対写像 $ SD $ を大域化し、スカラー倍を除いてwell-defined であり、射影的に平坦であることを示す。
• 標準的切断 $ \theta(r,k) \in H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) \otimes H^0(SU_X(k), \mathcal{L}^r) \otimes H^0(\overline{J}(X), \mathcal{M}^{kr}) $ をテンソル積写像による $ \theta(kr,1) $ の像として分析する。
• 射影接続理論を適用：ある切断が射影的に平坦ならば、それに対応する双対束間の写像も射影的に平坦であることを示す。
• 補題 A.1 を用いて、奇妙双対写像のランクが局所的に一定であることを示し、補題 A.2 を用いて、切断の平坦性と誘導写像の平坦性の関係を関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線 $ X $ が族を動くとき、写像 $ SD: H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k)^* \to H^0(U_X^*(k), \mathcal{M}^r) $ は射影的に平坦か？
• RQ2 ガロア被覆 $ SU_X(k) \times \overline{J}(X) \to U_X^*(k) $ を用いて、$ H^0(U_X^*(k), \mathcal{M}^r) $ に射影接続を定義できるか？
• RQ3 奇妙双対写像の射影的平坦性は、源と標的のベクトル束の射影的モノドロミー群が一致することを意味するか？
• RQ4 すべての $ m $ に対して $ \theta(m,1) \in H^0(SU_X(m), \mathcal{L}) \otimes H^0(\overline{J}(X), \mathcal{M}^m) $ の射影的平坦性は、奇妙双対写像とどのように関係するか？

主な発見

• 奇妙双対写像 $ SD: \mathcal{V}^* \to \mathcal{W} $ は、$ \mathcal{V} $ と $ \mathcal{W} $ が射影接続を備えるベクトル束として、基底 $ S $ 上で射影的に平坦である。
• 種数 $ g $ の曲線のモジュライスタック上で、$ \mathcal{V} $ と $ \mathcal{W} $ の射影的モノドロミー群は一致する。
• 写像 $ SD $ は同型であり、その射影的平坦性により、すべての曲線に対する奇妙双対性の新たな証明が得られ、一般曲線の既知の事例に帰着される。
• 要素 $ \theta(r,k) \in H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) \otimes H^0(SU_X(k), \mathcal{L}^r) \otimes H^0(\overline{J}(X), \mathcal{M}^{kr}) $ は、$ X $ が族を動くとき射影的に平坦である。
• 空間 $ H^0(U_X^*(k), \mathcal{M}^r) $ の射影接続は、ガロア被覆 $ SU_X(k) \times \overline{J}(X) \to U_X^*(k) $ を用いて定義され、被覆群はヘイゼンベルク対称性を介して作用する。
• すべての $ m $ に対して $ \theta(m,1) \in H^0(SU_X(m), \mathcal{L}) \otimes H^0(\overline{J}(X), \mathcal{M}^m) $ の平坦性が確立され、これが主結果の基盤をなす。