[論文レビュー] Generalized theta linear series on moduli spaces of vector bundles on curves

Mihnea Popa|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 57被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、代数的曲線上のベクトル束のモジュライ空間における一般化されたシータ線形系についてのサーベイであり、$SU_X(r)$ および $U_X(r,0)$ 上の多シータ線形系の基点自由性および非常に正則性に関する有効な境界を焦点としている。Quot スキーム、安定写像、およびフーリエ＝ムカイ変換を用いて線形系を分析し、ヴェルリンクデバンドルの分解定理を証明することで、$SU_X(r)$ および $U_X(r,0)$ 上の線形系の最適境界に関する予想に対する強い証拠を提供する。

ABSTRACT

This article is based on lecture notes prepared for the August 2006 Cologne Summer School. The first part contains background material and references for beginners. The second (and main) part is a survey of the current status in the theory of pluri-theta linear series and generalized theta divisors on moduli spaces of vector bundles on curves. It emphasizes relatively new techniques employed in the analysis of linear series on these moduli spaces, namely the use of moduli spaces of stable maps for understanding Quot schemes, and the Fourier-Mukai functor in the study of coherent sheaves on abelian varieties. In addition, it briefly describes recent important developments, most significant of which is the proof of the Strange Duality conjecture due to Belkale and Marian-Oprea.

研究の動機と目的

• 曲線上のベクトル束のモジュライ空間における線形系および一般化されたシータ超曲面の包括的サーベイを提供すること。
• $SU_X(r)$ および $U_X(r,0)$ 上の多シータ線形系の基点自由性および非常に正則性に関する有効な境界を確立すること。
• Quot スキーム、安定写像、およびフーリエ＝ムカイ変換と理論を結びつけ、ジャコビアン上の連接層を分析するための新しい技術を提供すること。
• 最適境界に関する線形系の予想を提示し、アーベル多様体上の古典的結果の拡張を支援すること。
• Strange Duality の証明やヴェルリンクデの公式の代数幾何的導出を含む最近の発展を強調することで、既存のサーベイを更新・補完すること。

提案手法

• 安定写像のモジュライ空間および Quot スキームを用いて、モジュライ空間上の連接層および線形系を研究する。
• フーリエ＝ムカイ変換を用いて、一般化されたシータ超曲面から生じるジャコビアン上の半同調的バンドルを分析する。
• Quot スキーム上の交線論を用いて、代数幾何的にヴェルリンクデの公式を導出する。
• $h$- torsion 点におけるトレース計算を用いて、Verlinde バンドル $E_{hr,hk}$ が単純な半同調的バンドル $W_{r,k, heta}$ に分解されることを分析する。
• §6.1 の抽象的基準を適用して、線形系の明示的な基点を構成し、レイノーの例を拡張する。
• principally 偏極アーベル多様体上の対称的半同調的バンドルの構造を用いて、境界および予想を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $U_X(r,0)$ 上の線形系 $|m\Theta|$ および $SU_X(r)$ 上の線形系 $|\mathcal{L}^m|$ の基点自由性および非常に正則性に関する有効な境界は何か？
• RQ2 ヴェルリンクデバンドル $E_{r,m}$ はどのように分解されるのか？ これは一般化されたシータ線形系の構造にどのような含意を持つのか？
• RQ3 Strange Duality の同型写像は、フーリエ＝ムカイ変換によるヴェルリンクデバンドルの分解とどのように調和するのか？
• RQ4 $d \neq 0$ のとき、$U_X(r,d)$ および $SU_X(r,d)$ 上の線形系の最適境界は何か？
• RQ5 予想7.20における予想される境界は、現在の技術を用いてどの程度証明されたり改善されたりできるのか？

主な発見

• $ (r,k)=1 $ かつ $ h $ が奇数のとき、ヴェルリンクデバンドル $E_{hr,hk}$ は $\bigoplus_{\xi} W_{r,k,\xi}^{\oplus m_\xi(r,k)}$ に分解され、明示的な重複度 $m_\xi(r,k)$ はトレース公式により計算される。
• この分解は Strange Duality 同型写像と整合するが、写像の整合性はまだ確立されていない。
• $W_{r,m}^\vee$ を $X$ のアーベル＝ジャコビ埋め込みに制限すると、ランク $m^g$、スロープ $kg/m$ の半安定バンドルが得られ、$k < m$ かつ $m \mid g$ のとき基点条件を満たす。
• レイノーの基点例は $k=1$ の場合として回復され、この構成はすべての単純な半同調的バンドルに一般化される。
• $U_X(r,0)$ 上の $|m\Theta|$ が $m \geq r+1$ で基点自由であり、$m \geq 2r+1$ で非常に正則であるという予想は、ヴェルリンクデバンドルおよび低ランクの場合の証拠によって支持される。
• $SU_X(r)$ 上の $|\mathcal{L}^m|$ が $m \geq r-1$ で基点自由であり、$m \geq 2r+1$ で非常に正則であるという予想が提示され、$U_X(r,0)$ の場合の $r+1$ よりもタイトな境界である。