[論文レビュー] Strange images of profinite groups

Nikolay Nikolov|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2009

Finite Group Theory Research参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限生成なプロスルボリュブル群、半単純群、または非普遍なプロフィニート群において、そのような奇妙な像が存在しないことを証明する。主な結果は、有限生成なプロフィニート群の無限大の有限生成像は、必ず非可算であるべきであり、特定の有限性条件下では、そのような群における稠密な正規部分群は、開または自明であるべきであることを示している。

ABSTRACT

We investigate whether a finitely generated profinite group G could have a finitely generated infinite image. A result of Dan Segal shows that this is impossible if G is prosoluble. We prove that such an image does not exist if G is semisimple or nonuniversal. We also investigate the existense of dense normal subgroups in $G$.

研究の動機と目的

• 有限生成なプロフィニート群が、位相的に閉じていない（「奇妙な像」と呼ばれる）無限大の有限生成商群を持つ可能性があるかどうかを特定すること。
• 特に有限生成性と像の構造に関連して、プロフィニート群における稠密な正規部分群の存在を調査すること。
• ダン・セガルのプロスルボリュブル群に関する結果を、半単純群や非普遍なプロフィニート群を含むより広いクラスへと拡張すること。
• 特に語彙的部分群と自己同型作用の文脈において、有限生成制約下での正規部分群と像の構造を特徴づけること。
• ブローバウレン予想（Conjecture 1）を、部分群の生成と閉包性質の分析を通じて、プロフィニート群の主要クラスにおいて解決すること。

提案手法

• 特に下位中心列と導来部分群に注目し、有限生成なプロフィニート群における語彙的部分群と閉包性質の構造を用いる。
• ダン・セガルのプロスルボリュブル群に関する定理を適用し、$ G' $ が $ G' $ をモジュロした生成元の共役の積に含まれることを示し、$ N $ が真の無限大像であると仮定すると矛盾が生じることを示す。
• 準単純群の中心積と自己同型作用を分析し、交換子を用いて群全体を生成することを可能にする、生成の共役に関する重要な結果（命題7）を応用する。
• 問題を単純な像に還元するためにゾルンの補題を用い、そのクラスに属する無限大の有限生成単純像が存在しないことを証明する。
• 有限像の生成性をプロフィニートレベルに持ち上げるため、プロフィニート版の群生成補題（例：[8] の補題2.4）を用いる。
• ベールのカテゴリ一様定理と位相的議論を用い、無限大の残値有限像は非可算でなければならないことを示し、したがって可算ではないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成なプロフィニート群が、プロフィニート位相において閉じていない無限大の有限生成像を持つことは可能か？
• RQ2 ニコロフ＝セガルの結果（「奇妙な有限商群が存在しない」）が、より広いクラスのプロフィニート群において無限大の有限生成像へと拡張可能か？
• RQ3 どのような条件下で、開でない稠密な正規部分群を含まないプロフィニート群が存在するか？
• RQ4 準単純群の中心積における自己同型軌道と交換子生成の構造は、群全体が共役の有限生成で得られるように強制できるか？
• RQ5 有限生成なプロフィニート群の稠密な正規部分群が、いつのまにか群全体に一致するのか、どのような条件下で成立するか？

主な発見

• プロスルボリュブル群、半単純群、または非普遍なプロフィニート群である限り、有限生成なプロフィニート群は、無限大の有限生成像を持たない。
• 半単純なプロフィニート群（非アーベル有限単純群のカルテジアン積）では、任意の単純商群は有限または非可算であるため、無限大の有限生成単純像は存在しない。
• 非普遍なプロフィニート群では、任意の無限大の有限生成商群の像は非可算でなければならないため、そのような像は存在しない。
• 群 $ G $ が有限アーベル化を持ち、有限単純群に有限個の射影を持つならば、任意の稠密な正規部分群 $ N $ は開でなければならない。ゆえに $ N = G $ である。
• 主定理の条件のもとで、導来部分群 $ G' $ は、$ G/N $ が無限大の有限生成像であるような任意の正規部分群 $ N $ に含まれる。
• 重要な技術的結果（命題7）は、中心積の各因子に自己同型が非自明に作用する場合、群が交換子部分群の有界積で生成され、その指数は関与する交代群のランクにのみ依存することを示している。