[論文レビュー] Stratification by itineraries of spaces of locally convex curves

Victor Goulart, Nicolau C. Saldanha|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、'旅程'（非開Bruhat胞体の通過順序を符号化する語）を用いて、$Spin_{n+1}$ 内の局所凸曲線の空間を階層化する。各層が有限余次元の可縮な部分多様体であることを証明し、CW複体への弱ホモトピー同値を構成可能にする。また、シャピロとシャピロによる、このような曲線空間の構造に関する予想を解決する。

ABSTRACT

Locally convex (or nondegenerate) curves in the sphere (or projective space) have been studied for several reasons, including the study of linear ordinary differential equations. Taking Frenet frames allows us to translate such curves into corresponding curves in the flag space, the orthogonal group or its cover $Spin_{n+1}$. Determining the homotopy type of the space of such closed curves or, more generally, of spaces of such curves with prescribed initial and final jets appears to be a hard problem, which has been solved for $n=2$ but otherwise remains open. This paper is a step towards solving the problem for larger values of $n$. In the process, we prove a related conjecture of B. Shapiro and M. Shapiro. We define the itinerary of a locally convex curve $\Gamma:[0,1] o Spin_{n+1}$ as a word $w$ in the alphabet of non-trivial permutations. This word encodes the succession of non-open Bruhat cells of $Spin_{n+1}$ pierced by $\Gamma$. We prove that, for each word $w$, the subspace of curves of itinerary $w$ is an embedded contractible (topological) submanifold of finite codimension, thus defining a stratification of the space of curves. We show how to obtain explicit (topologically) transversal sections for each of these submanifolds. We study both a space of curves with minimum regularity hypotheses, where only topological transversality applies, and spaces of sufficiently regular curves. In both cases we study the neighboring relation between strata. This is an important step in the construction of CW cell complexes mapped into the original space of curves by weak homotopy equivalences. Our stratification is not as nice as might be desired, lacking for instance the Whitney property. The differentiability class of the curves affects some properties of the stratification. The necessary ingredients for the construction of a dual CW complex are proved.

研究の動機と目的

• 閉じた局所凸曲線の空間のホモトピー型を理解すること。これは $n > 2$ の場合に未解決の問題である。
• 曲線が通過するBruhat胞体の順序（「旅程」と呼ばれる）に基づいて、そのような曲線空間の階層化を定義し、分析すること。
• 固定された旅程に対応する各層が、有限余次元の可縮な位相的部分多様体であることを証明すること。
• これらの層への明示的な横断的断面が構成可能な条件を確立すること。
• 元の曲線空間と弱ホモトピー同値な双対CW複体を構成するための基礎的道具を提供すること。

提案手法

• 曲線 $\Gamma: [0,1] \to Spin_{n+1}$ の旅程を、非自明な置換からなる語として定義する。これは、曲線が通過する非開Bruhat胞体の順序を符号化する。
• 各旅程語 $w$ に対して、旅程 $w$ を持つ曲線の集合が、曲線空間内の有限余次元の位相的部分多様体をなすことを証明する。
• 曲線の正則性に応じた位相的および微分的技法を用いて、各々の部分多様体が可縮であることを示す。
• 各層への明示的な（位相的に）横断的断面を構成し、階層の局所的構造を解析可能にする。
• 層同士の隣接関係を分析することで、階層のグローバル構造を理解する。
• 階層を用いて、元の曲線空間に弱ホモトピー同値な双対CW複体を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所凸曲線の空間 $Spin_{n+1}$ において、通過するBruhat胞体の順序を反映するような階層化が可能か？
• RQ2 固定された旅程によって定義される層は可縮的で、有限余次元か？
• RQ3 曲線の正則性条件は、層の微分可能性および横断性にどのように影響するか？
• RQ4 各層に対して明示的な横断的断面を構成可能か？ これにより、さらなるホモトピー的解析が可能か？
• RQ5 この階層化により、CW複体への弱ホモトピー同値が構成可能か？

主な発見

• 固定された旅程語 $w$ に対応する各層は、曲線空間内の埋め込まれた、可縮な位相的部分多様体であり、有限余次元を有する。
• 階層はホワイトニー正則でないため、標準的な階層的モース理論に望ましい滑らかさの性質を欠いている。
• 各層に対して明示的な位相的横断的断面が存在し、階層構造の局所的解析を可能にする。
• 階層の構成は曲線の滑らかさのクラスに依存し、層の正則性および横断性に影響を与える。
• 階層は、元の曲線空間と弱ホモトピー同値な双対CW複体を構成するための必要な要素を提供する。
• 本稿は、B. シャピロとM. シャピロによる、特に旅程に基づく階層化に関連する、このような曲線空間の構造に関する予想を確認する。