[論文レビュー] Stress and strain in symmetric and asymmetric elasticity

Albert Tarantola|ArXiv.org|Jul 10, 2009

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ひとこと要約

本稿は、変形速度を基本的な運動学的変数として扱うテンソリアルで座標不変な弾性理論を提示する。歪みは変形テンソルの行列対数として定義される。GL⁺(3) 上の幾何的枠組みを導入し、歪みを変形テンソルの対数として定義することで、対称的（古典的）および非対称的（Cosserat）弾性の両方を一貫して扱えるようにする。主な結果として、歪みは、基準状態と測地的に接続された配置に対してのみ定義可能である。

ABSTRACT

Usual introductions of the concept of motion are not well adapted to a subsequent, strictly tensorial, theory of elasticity. The consideration of arbitrary coordinate systems for the representation of both, the points in the laboratory, and the material points (comoving coordinates), allows to develop a simple, old fashioned theory, where only measurable quantities -like the Cauchy stress- need be introduced. The theory accounts for the possibility of asymmetric stress (Cosserat elastic media), but, contrary to usual developments of the theory, the basic variable is not a micro-rotation, but the more fundamental micro-rotation velocity. The deformation tensor here introduced is the proper tensorial equivalent of the poorly defined deformation "tensors" of the usual theory. It is related to the deformation velocity tensor via the matricant. The strain is the logarithm of the deformation tensor. As the theory accounts for general Cosserat media, the strain is not necessarily symmetric. Hooke's law can be properly introduced in the material coordinates (as the stiffness is a function of the material point). A particularity of the theory is that the components of the stiffness tensor in the material (comoving) coordinates are not time-dependent. The configuration space is identified to the part of the Lie group GL(3)+, that is geodesically connected to the origin of the group.

研究の動機と目的

• 任意のテンソル定義に依存しない、テンソリアルで座標不変な弾性理論の構築。
• カーチー応力のような測定可能な量に基づく応力と歪みの物理的意味の明確化。
• 微小回転を基本変数として導入することなく、非対称弾性（Cosserat 媚）を一貫して定式化すること。
• 歪みを変形テンソルの対数として定義し、それが基準状態と測地的に接続された配置に対してのみ正しく定義されることを保証すること。
• 物質座標系における剛性テンソルが時間に依存せず、物質フレームでの構成モデル化を簡素化すること。

提案手法

• 実験室および物質（共動）点の両方で任意の座標系を用いることで、テンソル的不変性を確保する。
• 変形速度テンソルを、GL⁺(3) 内の経路の接線として定義する（GL⁺(3) は可逆な 3×3 実行列の群）。
• 変形テンソルを、変形速度テンソルの時刻順指数関数（行列積分）として定義する。
• 歪みを変形テンソルの行列対数として定義し、それが GL⁺(3) の原点と測地的に接続された配置に対してのみ実数となるようにする。
• 指数関数を用いて歪みを対称的（変形）および反対称的（Cosserat ミクロ回転）な部分に分解する。
• 剛性テンソルを物質座標の関数として扱い、物質フレームでは時間に依存しないようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称弾性および対称弾性の両方において、幾何学的に整合的かつ物理的に測定可能な方法で歪みをどのように定義できるか？
• RQ2 歪み率を歪みの時間微分として用いることがなぜ問題であるのか、そして正しい基本的な運動学的変数は何か？
• RQ3 歪みを定義する際に行列対数が果たす役割は何か？なぜそれが特定の配置に対してのみ実数となるのか？
• RQ4 時間依存性を排除して物質座標系における剛性テンソルを一貫して定義する方法は何か？
• RQ5 弾性における配置空間の幾何的意味は何か？なぜ GL⁺(3) の測地的に接続された成分に制限されるのか？

主な発見

• 歪みは厳密に変形テンソルの行列対数として定義され、これは GL⁺(3) の測地的に接続された成分に属する配置に対してのみ実数となる。
• 変形速度テンソルが基本的な運動学的変数であり、歪み率ではない。これは変形テンソルと行列積分（時刻順指数関数）を介して関係づけられる。
• 歪みテンソルの反対称的成分は、微小回転そのものではなく、Cosserat ミクロ回転速度を表す。
• 歪みテンソルの対称的成分は古典的変形に対応し、その指数関数は標準的な変形テンソルを与える。
• 物質座標系における剛性テンソルは時間に依存せず、物質フレームでの構成モデル化を簡素化する。
• GL⁺(3) の測地的に接続された成分に属さない配置には、名目応力経路 λs を通じて到達できないため、歪みはそれらでは定義されない。