[論文レビュー] Stress-Energy-Momentum Tensors in Lagrangian Field Theory. Part 2. Gravitational Superpotential

G. Giachetta, G. Sardanashvily|ArXiv.org|Nov 14, 1995

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、重力ラグランジアンの一般共変性不変性に第一変分公式を適用することで、重力の超ポテンシャルをラグランジュ場理論において導出する。重力の運動量・エネルギー保存則が一般化された Komar 超ポテンシャルに還元されることを示し、計量およびアフィン計量重力モデルにおけるエネルギー運動量（擬）テンソルの定義と計算がオンシェルで可能になる。

ABSTRACT

Our investigation of differential conservation laws in Lagrangian field theory is based on the first variational formula which provides the canonical decomposition of the Lie derivative of a Lagrangian density by a projectable vector field on a bundle (Part 1: gr-qc/9510061). If a Lagrangian density is invariant under a certain class of bundle isomorphisms, its Lie derivative by the associated vector fields vanishes and the corresponding differential conservation laws take place. If these vector fields depend on derivatives of parameters of bundle transformations, the conserved current reduces to a superpotential. This Part of the work is devoted to gravitational superpotentials. The invariance of a gravitational Lagrangian density under general covariant transformations leads to the stress-energy-momentum conservation law where the energy-momentum flow of gravity reduces to the corresponding generalized Komar superpotential. The associated energy-momentum (pseudo) tensor can be defined and calculated on solutions of metric and affine-metric gravitational models.

研究の動機と目的

• ラグランジュ場理論における微分的保存則の枠組みを重力系へと拡張すること。
• 一般共変性がラグランジアンのリー微分を介して保存電流を生成する役割を調査すること。
• パrameter依存の対称性から生じる超ポテンシャル構造を特定すること。
• 計量およびアフィン計量モデルにおける一般化 Komar 超ポテンシャルを用いて、重力のエネルギー運動量（擬）テンソルを定義すること。
• 重力に第一変分公式を適用した超ポテンシャルの体系的導出を提供すること。

提案手法

• 可投影ベクトル場の下での重力ラグランジアンのリー微分を計算するために、第一変分公式を適用する。
• 一般共変変換に対する不変性を用いて、微分的保存則を導出する。
• 対称性パrameterが変換パrameterの微分に依存する場合、保存電流が超ポテンシャルとして特定されることを示す。
• 重力の文脈におけるリー微分の正準分解から、一般化 Komar 超ポテンシャルを導出する。
• オンシェル、すなわち場の運動方程式の解に対して、超ポテンシャルからエネルギー運動量（擬）テンソルを構成する。
• 超ポテンシャルおよび関連する（擬）テンソルの計算のために、この形式を計量およびアフィン計量重力モデルに適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一変分公式は、重力ラグランジアン理論においてどのように保存電流を生成するか？
• RQ2 一般共変性不変性から生じる重力における超ポテンシャルの構造は何か？
• RQ3 超ポテンシャル形式を用いて、重力のエネルギー運動量（擬）テンソルはどのように定義され、計算されるか？
• RQ4 一般化 Komar 超ポテンシャルは、重力ラグランジアンの変分構造からどのように導かれるか？
• RQ5 計量およびアフィン計量モデルにおいて、超ポテンシャルが well-defined なエネルギー運動量（擬）テンソルをもたらす条件は何か？

主な発見

• 重力の運動量・エネルギー保存則は、重力ラグランジアンの一般共変変換に対する不変性から導出される。
• 一般共変性に関連する保存電流は、具体的には一般化 Komar 超ポテンシャルに還元される。
• 計量およびアフィン計量重力モデルにおいて、重力のエネルギー運動量（擬）テンソルはオンシェルで定義可能かつ計算可能である。
• 超ポテンシャル構造は、第一変分公式によるラグランジアンのリー微分の正準分解から自然に生じる。
• この形式は、ラグランジアンから導かれる幾何的対象に基づいて、重力のエネルギー運動量を一貫的かつ共変的に定義する枠組みを提供する。
• 結果は、場の運動方程式の解に対して有効であり、古典的重力の文脈において物理的意味を持つ。