[論文レビュー] Stretching Demi-Bits and Nondeterministic-Secure Pseudorandomness

Iddo Tzameret, Luming Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2023

Benford’s Law and Fraud Detection被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、非決定的セキュア擬似乱数の理論を進展させ、1997年 Rudich 以来未解決であった問題を解決する。具体的には、任意のデミ・ビット生成器が、元の出力サイズを超えてサブリニアに多くのデミ・ビットに拡張可能であることを証明した。さらに、非決定的不確実性に基づくスーパービットの新たな特徴づけを確立し、スーパーコア予測子を導入。これらは非決定的設定におけるハードコア予測子と関連づけられ、平均的複雑度および証明複雑度への応用を含む。

ABSTRACT

We develop the theory of cryptographic nondeterministic-secure pseudorandomness beyond the point reached by Rudich’s original work [S. Rudich, 1997], and apply it to draw new consequences in average-case complexity and proof complexity. Specifically, we show the following: Demi-bit stretch: Super-bits and demi-bits are variants of cryptographic pseudorandom generators which are secure against nondeterministic statistical tests [S. Rudich, 1997]. They were introduced to rule out certain approaches to proving strong complexity lower bounds beyond the limitations set out by the Natural Proofs barrier of Razborov and Rudich [A. A. Razborov and S. Rudich, 1997]. Whether demi-bits are stretchable at all had been an open problem since their introduction. We answer this question affirmatively by showing that: every demi-bit b:{0,1}ⁿ → {0,1}^{n+1} can be stretched into sublinear many demi-bits b':{0,1}ⁿ → {0,1}^{n+n^{c}}, for every constant 0 < c < 1. Average-case hardness: Using work by Santhanam [Rahul Santhanam, 2020], we apply our results to obtain new average-case Kolmogorov complexity results: we show that K^{poly}[n-O(1)] is zero-error average-case hard against NP/poly machines iff K^{poly}[n-o(n)] is, where for a function s(n):ℕ → ℕ, K^{poly}[s(n)] denotes the languages of all strings x ∈ {0,1}ⁿ for which there are (fixed) polytime Turing machines of description-length at most s(n) that output x. Characterising super-bits by nondeterministic unpredictability: In the deterministic setting, Yao [Yao, 1982] proved that super-polynomial hardness of pseudorandom generators is equivalent to ("next-bit") unpredictability. Unpredictability roughly means that given any strict prefix of a random string, it is infeasible to predict the next bit. We initiate the study of unpredictability beyond the deterministic setting (in the cryptographic regime), and characterise the nondeterministic hardness of generators from an unpredictability perspective. Specifically, we propose four stronger notions of unpredictability: NP/poly-unpredictability, coNP/poly-unpredictability, ∩-unpredictability and ∪-unpredictability, and show that super-polynomial nondeterministic hardness of generators lies between ∩-unpredictability and ∪-unpredictability. Characterising super-bits by nondeterministic hard-core predicates: We introduce a nondeterministic variant of hard-core predicates, called super-core predicates. We show that the existence of a super-bit is equivalent to the existence of a super-core of some non-shrinking function. This serves as an analogue of the equivalence between the existence of a strong pseudorandom generator and the existence of a hard-core of some one-way function [Goldreich and Levin, 1989; Håstad et al., 1999], and provides a first alternative characterisation of super-bits. We also prove that a certain class of functions, which may have hard-cores, cannot possess any super-core.

研究の動機と目的

• デミ・ビットが元の出力サイズを超えて拡張可能かどうかという未解決問題を解消すること。
• より強い不確実性の概念を用いて、擬似乱数生成器の非決定的難易度を特徴づけること。
• ハードコア予測子の非決定的アナログとしてのスーパーコア予測子を導入し、その性質を調査すること。
• 得られた結果を応用し、新しい平均的複雑度におけるコルモゴロフ複雑度の結果および証明複雑度への影響を導出すること。
• 非存在仮定のもとで、PAC学習および回路学習との関連を通じてデミ・ビットの存在を正当化すること。

提案手法

• 非決定的難易度を特徴づけるために、NP/poly-、coNP/poly-、∩-、および∪-不確実性という4つの新しい不確実性概念を導入した。
• 任意のデミ・ビット b: {0,1}^n → {0,1}^{n+1} を、任意の 0 < c < 1 に対して b': {0,1}^n → {0,1}^{n+nc} に変換する拡張構成法を開発した。
• ハードコア予測子の非決定的版としてのスーパーコア予測子を提案し、スーパービットの存在とスーパーコア予測子の存在が同値であることを示した。
• Santhanam の平均的複雑度の結果を応用し、Kpoly[n−O(1)] が NP/poly に対してゼロエラー平均的難易度を持つことと、Kpoly[n−o(n)] が同様に難易度を持つことは同値であることを示した。
• デミ・ビットの非存在を仮定することで、2^{no(1)} サイズの確率的回路が高信頼度で Circuit[nc] を学習可能であることを導出した。
• i.o. デミ・ビットの非存在とPAC学習との関係を活用し、小規模な回路の学習が可能であることを示したが、デミ・ビットが存在する場合は例外となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのデミ・ビットはサブリニアに多くのデミ・ビットに拡張可能か。これは擬似乱数理論における未解決問題である。
• RQ2 決定的次のビットモデルを超えて、非決定的不確実性の観点からスーパービットをどのように特徴づけられるか。
• RQ3 非決定的状況下でのハードコア予測子の役割は何か。また、スーパービットとはどのように関連するか。
• RQ4 スーパービットおよびデミ・ビットの拡張可能性が平均的複雑度に与える影響は何か。
• RQ5 デミ・ビットの非存在が、小規模な回路の学習およびPAC学習に与える影響は何か。

主な発見

• 任意のデミ・ビット b: {0,1}^n → {0,1}^{n+1} は、任意の 0 < c < 1 に対して、b': {0,1}^n → {0,1}^{n+nc} に拡張可能であり、拡張可能性の問題が解決された。
• ある非収縮関数について、スーパービットの存在とスーパーコア予測子の存在が同値である。
• 生成器の非決定的難易度は、∩-不確実性と∪-不確実性の間で厳密に位置づけられ、4つの新しい不確実性概念が導入された。
• 与えられた仮定のもとで、Kpoly[n−O(1)] が NP/poly に対してゼロエラー平均的難易度を持つことと、Kpoly[n−o(n)] が同様に難易度を持つことは同値である。
• i.o. デミ・ビットの非存在は、Circuit[nc] が 2^{no(1)} サイズの確率的回路によって、信頼度 1/2^{no(1)} で学習可能であり、誤差 1/2−1/2^{no(1)} であることを示唆する。
• i.o. デミ・ビットが存在するならば、仮定として ÑP/qpoly-自然証明が存在しない場合、i.o. スーパービットも存在しなければならない。