[論文レビュー] Strichartz estimates and the nonlinear Schrödinger equation on manifolds with boundary

Matthew D. Blair, Hart F. Smith+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2010

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非一様な障害物の外部領域およびコンパクト多様体を含む境界付きリーマン多様体上での非線形シュレーディンガー方程式に対して、スケール不変なストリッカーツ推移を確立する。微局所パラメトリックス構成を用いて、3次元におけるエネルギー臨界および下臨界な半線形シュレーディンガー方程式の適切性を証明し、有限エネルギー初期データに対する大域的解の存在と保存則への応用を示す。

ABSTRACT

We establish Strichartz estimates for the Schrödinger equation on Riemannian manifolds $(Ω,\g)$ with boundary, for both the compact case and the case that $Ω$ is the exterior of a smooth, non-trapping obstacle in Euclidean space. The estimates for exterior domains are scale invariant; the range of Lebesgue exponents $(p,q)$ for which we obtain these estimates is smaller than the range known for Euclidean space, but includes the key $L^4_tL^\infty_x$ estimate, which we use to give a simple proof of well-posedness results for the energy critical Schrödinger equation in 3 dimensions. Our estimates on compact manifolds involve a loss of derivatives with respect to the scale invariant index. We use these to establish well-posedness for finite energy data of certain semilinear Schrödinger equations on general compact manifolds with boundary.

研究の動機と目的

• コンパクトな境界付きリーマン多様体（ディリクレおよびノイマン境界条件を含む）上でのシュレーディンガー方程式に対する局所時間におけるストリッカーツ推移を確立すること。
• ユークリッド空間内での非捕獲障害物の外部領域に対し、これらの推移を拡張し、Lebesgue指数の制限された範囲においてスケール不変な境界を得ること。
• 得られたストリッカーツ推移を用いて、エネルギー臨界および下臨界非線形性を有する半線形シュレーディンガー方程式の適切性を証明すること。
• 3次元における有限エネルギー初期データに対して、大域的解の存在および質量・エネルギーの保存を、新規推移を用いて示すこと。
• 一般の非捕獲障害物に対して適用可能な単一の微局所パラメトリックスフレームワークを用いて、ディリクレおよびノイマン境界条件の統一的取り扱いを実現すること。

提案手法

• 波動方程式に既に用いられていた微局所パラメトリックス構成を応用し、境界付きコンパクト多様体上でのシュレーディンガー方程式に対する局所時間ストリッカーツ推移を導出する。
• ブルーク、ジャラン、ツヴェツコフの局所滑らかさ推移を用いて、コンパクト多様体推移と外部領域推移のギャップを埋める。
• ソボレフ埋め込みおよび補間技法を用いて、パラメトリックスに基づく正則性増加から、空間時間可積分性推移を導出する。
• パラメトリックス法と局所滑らかさ境界を組み合わせ、外部領域におけるスケール不変ストリッカーツ推移（導関数の損失を伴う）を獲得する。
• n=3 に対して導出された $L^4_t L^∞_x$ 推移を用い、収縮法によるエネルギー臨界非線形シュレーディンガー方程式の適切性を証明する。
• 質量およびエネルギーの保存を $H^1$ 初期データに対して示すために、$H^2$ 初期データの近似を用い、一様収束およびファトゥの補題を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな境界付きリーマン多様体（ディリクレおよびノイマン境界条件を含む）上でのシュレーディンガー方程式に対して、スケール不変ストリッカーツ推移を確立できるか？
• RQ2 ユークリッド空間内での非捕獲障害物の外部領域において、スケール不変ストリッカーツ推移が成立する最適なLebesgue指数の範囲 $(p,q)$ は何か？
• RQ3 3次元における外部領域上でのシュレーディンガー方程式に対して、$L^4_t L^∞_x$ 推移を証明できるか？ また、その適切性への影響は何か？
• RQ4 パラメトリックス法を用いて、非捕獲外部領域において最小限の導関数損失を伴うストリッカーツ推移をどれほどまでに導出できるか？
• RQ5 ストリッカーツ推移を用いて、境界付き多様体上でのエネルギー臨界半線形シュレーディンガー方程式のための大域的解の存在および保存則を証明できるか？

主な発見

• 著者らは、スケール不変インデックスに対して導関数の損失を伴うが、境界付きコンパクト多様体上でのシュレーディンガー方程式に対してスケール不変ストリッカーツ推移を確立した。
• ユークリッド空間内での非捕獲障害物の外部領域において、制限された範囲の $(p,q)$ に対してスケール不変ストリッカーツ推移を獲得した。特に3次元におけるキーパラメータ $L^4_t L^∞_x$ 推移を含む。
• 3次元における $L^4_t L^∞_x$ 推移を用いて、有限エネルギー初期データに対するエネルギー臨界非線形シュレーディンガー方程式の適切性を簡潔に証明した。
• 微局所パラメトリックス構成により、一般の非捕獲障害物上でのディリクレおよびノイマン境界条件の統一的取り扱いが可能になった。
• $H^2$ 初期データの近似と一様収束およびファトゥの補題を用いて、$H^1$ 初期データにおけるエネルギー臨界ケースの下での大域的解の存在および質量・エネルギーの保存を証明した。
• 外部領域におけるストリッカーツ推移では、$½/p$ の導関数損失が生じるが、これは以前の結果を改善したが、ユークリッド空間で知られている完全な範囲には達していない。