[論文レビュー] Strictly homotopy invariance of Nisnevich sheaves with GW-transfers

Andrei Druzhinin|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、特性 ≠ 2 の完備体 k 上のホモトピー的不変なプレシャーフに GW-移行（またはウィット移行）を備えたものに関連する Nisnevich シェーブの厳密なホモトピー不変性を確立する。明示的な対応の構成とスペクトル系列の議論を用いて、$ H^i_{\text{Nis}}(\mathbb{A}^1 \times X, \tilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}}) \simeq H^i_{\text{Nis}}(X, \tilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}}) $ が成り立つことを証明し、これは Voevodsky-Suslin 法を用いた GW-モチーフの三角圏 $\mathbf{DM}^{GW}(k)$ の構成に不可欠である。

ABSTRACT

The strictly homotopy invariance of the associated Nisnevish sheave $\widetilde{\mathcal F}_{Nis}$ of a homotopy invariant presheave $\mathcal F$ with GW-transfers (or Witt-transfers) on the category of smooth varieties over a prefect field $k$, $char\,k eq 2$, is proved, i.e. the isomorphism $$H^i_{Nis}(\mathbb A^1 imes X,\widetilde{\mathcal F}_{Nis})\simeq H^i_{Nis}(X,\widetilde{\mathcal F}_{Nis})$$ for any $X\in Sm_k$ is obtained. This theorem is necessary for the construction of the triangulated category of GW-motives $\mathbf{DM}^{GW}(k)$ and Witt-motives $\mathbf{DM}^W(k)$ by the Voevodsky-Suslin method originally used for the construction of the category of motives $\mathbf{DM}(k)$. In particular, the result of the article gives the direct prove of the strictly homotopy invariance of the Nisnevich sheaves associated to hermitian K-theory and Witt-groups (without using of the representability of these cohomology theories in the motivic homotopy category $\mathbf H_{\mathbb A^1}(k)$ proved by Hornbostle [Horn_ReprKOWitt]); and on other side the strictly homotopy invariance theorem proved here and the representability criteria proved in [Horn_ReprKOWitt] implies that cohomologies $H^i_{nis}(-,\widetilde{\mathcal F}_{nis})$ of the associated sheaf of a homotopy invariant presheave with GW-(Witt-)transfers $\mathcal F$ are representable in $\mathbf H_{\mathbb A^1}(k)$.

研究の動機と目的

• 特性 ≠ 2 の完備体 $k$ 上のホモトピー的不変なプレシャーフに GW-移行を備えたものに関連する Nisnevich シェーブの厳密なホモトピー不変性を確立すること。
• 表現可能性が $\mathbf{H}_{\mathbb{A}^1}(k)$ に依存しない形で、ヘルミート K-理論およびウィット群に関連するシェーブのホモトピー不変性の直接的証明を提供すること。
• Voevodsky-Suslin 法を用いて、三角圏 $\mathbf{DM}^{GW}(k)$ の構成を支援すること。
• このようなプレシャーフに関連するコホモロジー理論が、モチーフ的ホモトピー圏 $\mathbf{H}_{\mathbb{A}^1}(k)$ において表現可能であることを示すこと。

提案手法

• Voevodsky-Suslin 法を用いて、$\mathbb{A}^1$-同値を用いた Nisnevich シェーブに GW-移行を備えたものの導来圏の局域化として $\mathbf{DM}^{GW}_{\text{eff}}(k)$ を定義する。
• Dold-Kan 対応を用いて、$\tilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}}$ のインジェクティブ解体 $\mathcal{I}^\bullet$ に simplicial プレシャーフ $\mathcal{I}_s$ を関連させ、Nisnevich-Mayer-Viertoris 性およびホモトピー不変性を保証する。
• 射影 $X \times \mathbb{G}_m \to X$ に対して Leray スペクトル系列を適用し、$X \times \mathbb{A}^1$ 上のコホモロジーを分析し、高次の直接像が消えることから系列の退化を示す。
• Nisnevich 近傍を構成し、閉部分スキームの次元に関する帰納法を用いて、$X \times \mathbb{A}^1/0$ 上のコホモロジーの消滅を証明する。この際、閉部分スキームの構造と一般点に依存する。
• Nisnevich 近傍および hensel化に関する定理を適用し、点におけるシェーブの芽を比較することで、コホモロジー群における同型を証明する。
• 自然な函手 $GWCor \to WCor$ を用いて、ウィット移行へと結果を拡張し、ウィット-モチーフに対しても同様の命題が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性 ≠ 2 の完備体 $k$ 上のホモトピー的不変なプレシャーフに GW-移行を備えたものに関連する Nisnevich シェーブは、厳密なホモトピー不変性を満たすか。すなわち、すべての滑らかで $k$ 上の $X$ に対して $H^i_{\text{Nis}}(\mathbb{A}^1 \times X, \tilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}}) \simeq H^i_{\text{Nis}}(X, \tilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}})$ が成り立つか。
• RQ2 このようなシェーブの厳密なホモトピー不変性は、モチーフ的ホモトピー圏 $\mathbf{H}_{\mathbb{A}^1}(k)$ における表現可能性に依存せずに、直接的に証明可能か。
• RQ3 この不変性を踏まえて、GW-移行に関連するコホモロジー理論（例：高次ヘルミート K-理論）は $\mathbf{H}_{\mathbb{A}^1}(k)$ において表現可能か。
• RQ4 GW-移行に用いられた手法は、ウィット移行へどの程度拡張可能か。また、この文脈において函手 $GWCor \to WCor$ の役割は何か。

主な発見

• 関連するシェーブ $\tilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}}$ の Nisnevich コホモロジーは厳密なホモトピー不変性を満たす：すべての滑らかで $k$ 上の $X$ に対して $H^i_{\text{Nis}}(\mathbb{A}^1 \times X, \tilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}}) \simeq H^i_{\text{Nis}}(X, \tilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}})$ が成り立つ。
• この結果により、ヘルミート K-理論およびウィット群に関連するシェーブの厳密なホモトピー不変性の直接的証明が可能となり、Hornbostel の $\mathbf{H}_{\mathbb{A}^1}(k)$ における表現可能性結果に依存しない。
• シェーブ $\tilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}}$ のコホモロジー プレシャーフは、Dold-Kan 対応および関連する simplicial プレシャーフのホモトピー不変性を用いて、モチーフ的ホモトピー圏 $\mathbf{H}_{\mathbb{A}^1}(k)$ において表現可能であることが示された。
• この証明は、閉部分スキームの次元に関する帰納法と Nisnevich 近傍の使用に依存し、コホモロジーの消滅を一般点における芽への還元することで行う。
• $pr: X \times \mathbb{G}_m \to X$ に対するスペクトル系列は退化し、$H^i(X, \tilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}}) \simeq H^i(X, \tilde{\mathcal{F}}_{\text{Nis}}|_{U})$ が得られる。これはホモトピー不変性を支持する。
• 自然な函手 $GWCor \to WCor$ を用いて、ウィット移行へと結果を拡張でき、ウィット-シェーブに対しても同様の厳密なホモトピー不変性が成り立つ。