[論文レビュー] String Duality and Enumeration of Curves by Jacobi Forms

Toshiya Kawai|ArXiv.org|Apr 2, 1998

Advanced Algebra and Geometry参考文献 46被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、ほぼ正則なWeyl不変Jacobi形式を用いて、K3および楕円曲線ファイブレーションを併せ持つCalabi-Yau三様体のgenus 0および1 Gromov-Wittenポテンシャルを計算する手法を提案する。楕円多対数関数およびtheta対応を活用し、大ベース面積極限における漸近的表現を導出し、それらを摂動的プリポテンシャルに関連づけ、Eisenstein-Kronecker級数およびZagierの実楕円多対数関数との関係を明らかにする。

ABSTRACT

For a Calabi-Yau threefold admitting both a $K3$ fibration and an elliptic fibration (with some extra conditions) we discuss candidate asymptotic expressions of the genus 0 and 1 Gromov-Witten potentials in the limit (possibly corresponding to the perturbative regime of a heterotic string) where the area of the base of the $K3$ fibration is very large. The expressions are constructed by lifting procedures using nearly holomorphic Weyl-invariant Jacobi forms. The method we use is similar to the one introduced by Borcherds for the constructions of automorphic forms on type IV domains as infinite products and employs in an essential way the elliptic polylogarithms of Beilinson and Levin. In particular, if we take a further limit where the base of the elliptic fibration decompactifies, the Gromov-Witten potentials are expressed simply by these elliptic polylogarithms. The theta correspondence considered by Harvey and Moore which they used to extract the expression for the perturbative prepotential is closely related to the Eisenstein-Kronecker double series and hence the real versions of elliptic polylogarithms introduced by Zagier.

研究の動機と目的

• K3ファイブレーションを持つCalabi-Yau三様体の大きなベース面積極限におけるgenus 0および1 Gromov-Wittenポテンシャルの漸近的表現を導出すること。
• Jacobi形式から構成された自動形式を用いて、ストリング双対性と曲線数え上げの間の関係を確立すること。
• BeilinsonおよびLevinの楕円多対数関数およびtheta対応を用いて、ホテティックストリング理論の摂動的プリポテンシャルを回復すること。
• 得られたポテンシャルを、decompactification極限におけるEisenstein-Kronecker二重級数およびZagierの実楕円多対数関数に関連付けること。

提案手法

• ほぼ正則なWeyl不変Jacobi形式に基づくリフト手続きを用いてGromov-Wittenポテンシャルを構成する。
• HarveyとMooreのtheta対応を適用して摂動的プリポテンシャルの寄与を抽出する。
• BeilinsonおよびLevinの楕円多対数関数を、構成の中心的要素として用いる。
• BorcherdsのタイプIV領域上の自動形式の無限積表現法を活用する。
• ホテティックストリングコンpactificationの摂動的領域にアクセスするために、大ベース面積極限を導入する。
• 楕円ファイブレーションのベースのさらなるdecompactification極限をとることで、ポテンシャルを純粋な楕円多対数関数に簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対ファイブレーションを有するCalabi-Yau三様体に対して、genus 0および1 Gromov-Witten不変量を体系的に計算する方法は何か？
• RQ2 Jacobi形式およびそのリフトは、ストリング双対性における曲線数え上げデータの符号化にどのような役割を果たすか？
• RQ3 楕円多対数関数は、ホテティックストリング理論における摂動的プリポテンシャルとどのように関係するか？
• RQ4 楕円ファイブレーションのベースのdecompactification極限は、Gromov-Wittenポテンシャルをどのように簡略化するか？
• RQ5 この文脈において、theta対応とEisenstein-Kronecker級数の正確な関係は何か？

主な発見

• genus 0および1 Gromov-Wittenポテンシャルは、大ベース面積極限において、ほぼ正則なWeyl不変Jacobi形式を用いて漸近的に表現される。
• theta対応により摂動的プリポテンシャルが回復され、それがEisenstein-Kronecker二重級数と等価であることが示された。
• 楕円ファイブレーションのベースのdecompactification極限において、Gromov-Wittenポテンシャルは正確に楕円多対数関数に簡略化される。
• この構成により、ストリング双対性、自動形式、Zagierの実楕円多対数関数を含む特殊関数との深い関係が明らかになった。
• この手法は、モジュラーおよび算術的構造を用いた双対Calabi-Yauコンパクト化における曲線数え上げの統一的枠組みを提供する。