[論文レビュー] String Theory: a mere prelude to non-Archimedean Space-Time Structures?

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|Mar 15, 2007

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 24被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、弦理論や点なしトポロジーからの洞察を受けて、実数のようなアーケメデス構造にとどまらない非アーケメデス的時空枠組みの探求を通じて、理論物理学がアーケメデス的構造（特に実数）を超えるべきだと主張している。単一の連続的時空モデルを仮定することを放棄することで、量子重力における根本的問題の解決と相対性理論と量子理論の統一が可能になる可能性がある。

ABSTRACT

It took two millennia after Euclid and until in the early 1880s, when we went beyond the ancient axiom of parallels, and inaugurated geometries of curved spaces. In less than one more century, General Relativity followed. At present, physical thinking is still beheld by the yet deeper and equally ancient Archimedean assumption which entraps us into the limited view of "only one walkable world". In view of that, it is argued with some rather easily accessible mathematical support that Theoretical Physics may at last venture into the Non-Archimedean realms.

研究の動機と目的

• 理論物理学における長年の仮定、すなわち時空がアーケメデス的構造（特に実数）を用いてモデル化されなければならないという仮定に挑戦すること。
• 弦理論は現在の限界があるものの、高次元時空や構造的時空要素といった、根本的な考えを前進させたものであり、それらをより深く数学的に探求する価値があると主張すること。
• 非アーケメデス的数学的構造を時空モデル化に採用することで、標準物理学が直面する「1つの歩ける世界」の制約を脱却できると提唱すること。
• 非アーケメデス的枠組み（非可換・非結合的代数を含む）が、量子スケールにおける離散的または粗い時空をより適切に扱える可能性があることを強調すること。
• 特に連続体の事前的使用に注目して、量子理論および一般相対性理論の数学的基盤の根本的再考を呼びかけること。

提案手法

• 物理学におけるアーケメデス的構造の歴史的・概念的限界、特に時間と空間のモデルとしての実数直線 ℝ の分析。
• 数学における点なしトポロジー（またはポイントレストポロジー）を援用し、時空が次元のない点から構築されるものではなく、構造的実体からなるものとして扱う。
• カールツァ・クライン理論や非可換幾何学といった、非アーケメデス的モデルの前身となる理論物理学の提案を検討する。
• p進数やその他の非アーケメデス的順序体といった非アーケメデス的体が、物理理論のより基本的なスカラーとして機能できる可能性を提唱する。
• 標準量子力学と一般相対性理論が連続体（ℝ と ℂ）に依存しているが、これは真に離散的または粗い量子重力と不一致を来す可能性があるという主張を用いる。
• 因果セット計画と Nカテゴリー理論を、標準的な数学的仮定に挑戦する基礎物理学計画の例として挙げ、非アーケメデス的構造が自然な次のステップであると示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ理論物理学は、量子重力と潜在的に不適合である可能性があるにもかかわらず、ℝ や ℂ といったアーケメデス的構造に拘束されてきたのか？
• RQ2 p進数や非アーケメデス的体といった非アーケメデス的数学的枠組みが、一般相対性理論と量子力学を統合するより一貫性のある基盤を提供できるか？
• RQ3 点なしトポロジーで示されるように、空間時空が構造的で点的でない実体から成るという概念が、量子重力のより深い理解にどのように寄与できるか？
• RQ4 量子理論における連続体の置き換えとして非アーケメデス的スカラーを採用した場合、ヒルベルト空間の形式的体系、経路積分、変形量子化にどのような影響が生じるか？
• RQ5 標準量子理論が実数と複素数に依存している現在の依存関係は、量子重力スケールでは成立しない可能性のある空間的・時間的性質を暗黙的に仮定しているとされるが、そのような点はどのような点か？

主な発見

• 論文は、理論物理学において広く無自覚に受け入れられている仮定、すなわち時空がアーケメデス的構造（特に実数直線 ℝ）に限定されているという仮定が、物理理論の可能性を制限していると特定している。
• 弦理論は現在の課題があるものの、高次元時空と点的でない時空要素という2つの根本的アイデアを前進させたと主張し、それらを保存すべき価値があると主張する。
• 1960年代から数学で確立済みの点なしトポロジーの概念は、次元のない点を構造的実体に置き換えるための厳密な数学的枠組みを提供する。
• 論文は、p進数や非アーケメデス的体といった非アーケメデス的構造が、物理学で見過ごされてきたが、離散的または粗い時空をより自然にモデル化できる可能性があると主張する。
• 量子理論における連続体（ℝ と ℂ）の使用は、因果セット計画のような離散的量子重力フレームワークと根本的になじまないと主張する。
• 論文は、理論物理学がアーケメデス的構造の標準的使用によって「1つの歩ける世界」のパラダイムに閉じ込められており、非アーケメデス的枠組みが、実現可能で未開拓の前向きな道筋であると結論づける。