[論文レビュー] Stringy invariants for horospherical varieties of complexity one

Kevin Langlois, Clélia Pech+1 more|Kent Academic Repository (University of Kent)|Nov 12, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、${\mathbb{Q}}$-Gorensteinで、特異点が対数終票である複雑性1の水平球的多様体について、その組合せ的データを用いてストリングィなモチーフ的体積を計算する。多面体的除法と色付きファーンを用いた明示的公式を提示し、モチーフ的体積の有理型表現を確立し、ストリングィな通常のオイラー特徴標数の比較による滑らかさの基準を証明する。

ABSTRACT

In this paper we determine the stringy motivic volume of log terminal horospherical $G$-varieties of complexity one, where $G$ is a connected reductive linear algebraic group. The stringy motivic volume of a log terminal variety is an invariant of singularities which was introduced by Batyrev and plays an important role in mirror symmetry for Calabi--Yau varieties. A horospherical $G$-variety of complexity one is a normal $G$-variety which is equivariantly birational to a product $C imes G/H$, where $C$ is a smooth projective curve and the closed subgroup $H$ contains a maximal unipotent subgroup of $G$. The simplest example of such a variety is a normal surface with a non-trivial $\mathbb{C}^{\star}$-action. Our formula extends the results of Batyrev--Moreau [BM13] on stringy invariants of horospherical embeddings. The proof involves the study of the arc space of a horospherical variety of complexity one and a combinatorial description of its orbits. In contrast to [BM13], the number of orbits is no longer countable, which adds significant difficulties to the problem. As a corollary of our main theorem, we obtain a smoothness criterion using a comparison of the stringy and usual Euler characteristics.

研究の動機と目的

• 対数終票特異点をもつ複雑性1の${\mathbb{Q}}$-Gorenstein水平球的多様体のストリングィなモチーフ的体積を特定すること。
• 色付き多面体的除法による組合せ的記述を用いて、ストリングィ不変量の明示的公式を提供すること。
• ストリングィなモチーフ的体積の有理型表現を確立し、凸幾何学を用いて候補となる極の有限集合を同定すること。
• 追加の仮定の下で、滑らかさの基準をストリングィなオイラー特徴標数の観点から再定式化すること。
• モチーフ的統合技術を用いて、球的多様体の既存の滑らかさの基準を一般化・精緻化すること。

提案手法

• モチーフ的統合を用いて、対数解像上の弧空間上の積分としてストリングィなモチーフ的体積を定義する。
• バティレーヴの枠組みに基づき、解像の選び方に依存しない、モチーフ的体積の有理型表現を適用する。
• 多面体的除法とその関連する色付きコーンの構造、特に$\sigma$-多面体的除法の構造に注目して、凸幾何学を用いて分析する。
• 曲線上の点、多面体的除法の面、色の集合を含む三つ組を用いて、$G$-軌道（水平および垂直）をパラメトライズする。
• ワイル群および安定化部分群の作用を用いて、軌道分解によるオイラー特徴標数を計算する。
• ストリングィなオイラー特徴標数$e_{st}(X)$と通常のオイラー特徴標数$e(X)$を比較し、滑らかさの基準を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\mathbb{Q}}$-Gorensteinで、特異点が対数終票である複雑性1の水平球的多様体のストリングィなモチーフ的体積の明示的公式は何か？
• RQ2 色付き除法的ファーンの組合せ的データを用いて、ストリングィなモチーフ的体積をどのように有理型で表現できるか？
• RQ3 ストリングィなモチーフ的体積の候補となる極の集合は何か？また、それらは凸幾何学を用いてどのように明示的に記述できるか？
• RQ4 どのような条件下で$e_{st}(X) = e(X)$が多様体の滑らかさを示すか？
• RQ5 水平球的多様体の滑らかさの基準をストリングィ不変量の観点から再定式化できるか？

主な発見

• ${\mathbb{Q}}$-Gorensteinで、特異点が対数終票である複雑性1の水平球的多様体のストリングィなモチーフ的体積は、その色付き多面体的除法および関連する組合せ的データを用いた明示的公式で与えられる。
• ストリングィなモチーフ的体積は有理型表現をもち、その極は多面体的除法の凸幾何学に基づいて明示的に記述された有限集合に含まれる。
• 多様体のオイラー特徴標数は軌道分解により計算され、水平および垂直$G$-軌道の寄与は、面と色によってパラメトライズされる。
• 局所ファクター的である$G/H \times \mathbb{C}^*$の$G$--equivariantコンactificationを用いて、$\frac{|W|}{|W_{I_{\mathcal{F}}}|} = \sum_{v \in \Delta_y} \frac{|W|}{|W_{I_{\mathcal{F}_{\{v\}}}}|}$が証明される。
• 局所ファクター性および全次元のカイリー・コーンの仮定の下で、$2 - 2g - |C \setminus C_0| \neq 0$の条件下で、多様体が滑らかであるための必要十分条件は$e_{st}(X) = e(X)$である。
• 滑らかさの基準はストリングィなオイラー特徴標数の観点から再定式化され、既存のトーリック多様体からの結果を複雑性1の水平球的多様体へと拡張した。