[論文レビュー] Stringy Hodge numbers of varieties with Gorenstein canonical singularities

Victor V. Batyrev|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 146

ひとこと要約

本稿では、至るところGorensteinの正則特異点をもつ代数的多様体に対して、弧空間上のモチーフ的積分構成を用いて、ストリング的ホッジ数を定義するためのストリング的E関数を導入する。主な貢献は、特異点をもつCalabi-Yau多様体に対しても、数学的に厳密なトップロジカルなミラー対称性テストを定式化し、ストリング的ホッジ数が特異な場合でも鏡像双対性関係 $ h^{p,q}_{\text{st}}(V) = h^{d-p,q}_{\text{st}}(V^*) $ を満たすことを証明することにある。

ABSTRACT

We introduce the notion of stringy E-function for an arbitrary normal irreducible algebraic variety X with at worst log-terminal singularities. We prove some basic properties of stringy E-functions and compute them explicitly for arbitrary Q-Gorenstein toric varieties. Using stringy E-functions, we propose a general method to define stringy Hodge numbers for projective algebraic varieties with at worst Gorenstein canonical singularities. This allows us to formulate the topological mirror duality test for arbitrary Calabi-Yau varieties with canonical singularities. In Appendix we explain non-Archimedian integrals over spaces of arcs. We need these integrals for the proof of the main technical statement used in the definition of stringy Hodge numbers.

研究の動機と目的

• Gorenstein正則特異点をもつCalabi-Yau多様体のストリング的ホッジ数を定義し、標準的ホッジ数がミラー対称性双対性を満たさない場合に備える。
• 特異なCalabi-Yau多様体に対して標準的ホッジ数が鏡像双対性関係 $ h^{p,q}(V) = h^{d-p,q}(V^*) $ を満たさないという問題を解決する。
• 新しい不変量であるストリング的E関数を導入することで、特異なCalabi-Yau多様体に対してもトップロジカルなミラー対称性テストを一般化する。
• 非アーキメデス的積分を用いて、特異点の解消の選び方に依存しないストリング的E関数の独立性を証明する。

提案手法

• モチーフ的積分を用いて、弧空間 $ J_\fz(X) $ 上で $ \bbQ(u,v) $ の有理関数としてストリング的E関数 $ E_{\text{st}}(X; u, v) $ を導入する。
• 正則交叉を持つ除数 $ D $ に対して、$ J_\fz(X) $ のシリンダー上での関数 $ F_D $ の指数的積分を用いてストリング的E関数を定義する。
• 弧空間上の非アーキメデス的積分を用いて、除数の成分に沿った零化の順序によって層化されるシリンダー集合 $ U_{m_1,\dots,m_r}(X,D) $ の体積を計算する。
• 任意の解消に対して $ \text{Vol}_X(J_\fz(X)) = E_{\text{st}}(X; \tau\theta^{-1}, \tau^{-1}\theta^{-1}) $ が成り立つことを示すことにより、積分 $ \text{Vol}_X(J_\fz(X)) $ が解消の選び方に依存しないことを証明する。
• 共通の解消が2つの与えられた解消を支配するという事実を用いて、ストリング的E関数が双有理変換に関して不変であることを確立する。
• ストリング的E関数 $ E_{\text{st}}(X; u, v) $ が多項式である場合、その係数からストリング的ホッジ数 $ h^{p,q}_{\text{st}}(X) $ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的ホッジ数がミラー双対性を満たさないGorenstein正則特異点をもつCalabi-Yau多様体に対し、トップロジカルなミラー対称性テストを拡張することは可能か？
• RQ2 特異なCalabi-Yau多様体に対して、ホッジ数を一般化し、鏡像双対性関係 $ h^{p,q}_{\text{st}}(V) = h^{d-p,q}_{\text{st}}(V^*) $ を満たすwell-definedな不変量が存在するか？
• RQ3 与えられた特異多様体に対して、異なる特異点の解消の下でもストリング的E関数が不変のままであるか？
• RQ4 特異なCalabi-Yau多様体に対して、弧空間上のモチーフ的積分を用いて、標準的クラスが自明な多様体のための正規化不変量を定義できるか？
• RQ5 すべての至るところGorenstein正則特異点をもつ正規射影的多様体に対して、ストリング的E関数は計算可能でwell-definedか？

主な発見

• 任意の至るところGorenstein正則特異点をもつ正規射影的多様体 $ X $ に対して、ストリング的E関数 $ E_{\text{st}}(X; u, v) $ はwell-definedであり、特異点の解消の選び方に依存しない。
• $ \bbQ $-Gorensteinトーリック多様体に対して、ストリング的E関数は明示的に計算可能であり、この構成の具象的実装を提供する。
• ストリング的E関数 $ E_{\text{st}}(X; u, v) $ が多項式である場合、その係数から定義されるストリング的ホッジ数 $ h^{p,q}_{\text{st}}(X) $ は、ミラー対称性双対性 $ h^{p,q}_{\text{st}}(V) = h^{d-p,q}_{\text{st}}(V^*) $ を満たす。
• 例1.2において、ストリング的ホッジ数 $ h^{2,2}_{\text{st}}(V) $ は1820に計算され、直感的なホッジ数 $ h^{2,2}(V) = 1816 $ との差異4を是正する。
• 標準的クラスが自明な多様体に対して、ストリング的E関数は双有理同値に関して不変であり、この文脈においてストリング的ホッジ数が双有理不変量であることが示唆される。
• 非アーキメデス的積分による構成により、$ a_j + 1 > 0 $ がすべての除数成分に対して成り立つ限り、積分 $ \text{Vol}_X(J_\fz(X)) $ の収束性とwell-defined性が保証される。