[論文レビュー] Strong and weak (1, 2) homotopies on knot projections and new invariants

Noboru Ιτο, Yusuke Takimura|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、第二平坦な Reidemeister 移動を方向性の整合性に基づいて自己接点変更に分解することにより、ねじれ投影における強 (1,2) および弱 (1,2) ホモトピーを導入し、非 Seifert (A⁻¹) 解消を用いて新たな不変量を定義する。強および弱 (1,2) ホモトピー同値性の必要十分条件を、縮約されたねじれ投影を用いて確立し、強ホモトピーと弱ホモトピーの下での自明化類を区別する整数値不変量を構成する。

ABSTRACT

Every second flat Reidemeister move of knot projections can be decomposed into two types thorough an inverse or direct self-tangency modification, respectively called strong or weak, when orientations of the knot projections are arbitrarily provided. Further, we introduce the notions of strong and weak (1, 2) homotopies; we define that two knot projections are strongly (resp. weakly) (1, 2) homotopic if and only if two knot projections are related by a finite sequence of first and strong (resp. weak) second flat Reidemeister moves. This paper gives a new necessary and sufficient condition that two knot projections are not strongly (1, 2) homotopic. Similarly, we obtain a new necessary and sufficient condition in the weak (1, 2) homotopy case. We also define a new integer-valued strong (1, 2) homotopy invariant. Using it, we show that the set of the non-trivial prime knot projections without 1-gons that can be trivialized under strong (1, 2) homotopy is disjoint from that of weak (1, 2) homotopy. We also investigate topological properties of the new invariant and give its generalization, a comparison of our invariants and Arnold invariants, and a table of invariants.

研究の動機と目的

• 強または弱 (1,2) ホモトピーの下で二つのねじれ投影が同値であるための必要十分条件に関する未解決問題を解決すること。
• これらのホモトピー関係の下でねじれ投影を分類するための新しい不変量を定義・分析すること。
• 強 (1,2) ホモトピーと弱 (1,2) ホモトピーの下で自明化可能な素ねじれ投影の集合を区別すること。
• 非 Seifert 解消を用いて位相的不変量を一般化し、それらを Arnold 不変量および円配置と関連付けること。

提案手法

• 方向性の整合性に基づいて、第二平坦な Reidemeister 移動を強および弱の自己接点変更に分解する。
• 第一平坦な Reidemeister 移動と強/弱第二移動の列を用いて、強および弱 (1,2) ホモトピーを定義する。
• 各二重点における非 Seifert (A⁻¹) 解消を用いて、方向性に依存しない整数値不変量 τ(P) を定義する。
• 不変量 τ(P) を用いて、特に 1-角形を含まない素投影に制限して、ねじれ投影を強および弱 (1,2) ホモトピーの下で分類する。
• 円配置とコード・ダイアグラムを用いて、ねじれ投影の位相的構造を表現・分析する。
• s2a および 1a の操作を適用して、連結和を素ねじれ投影に変換し、不変量を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つのねじれ投影が強 (1,2) ホモトープであるための必要十分条件は何か？
• RQ2 二つのねじれ投影が弱 (1,2) ホモトープであるための必要十分条件は何か？
• RQ3 新しい整数値不変量は、強 (1,2) ホモトピーと弱 (1,2) ホモトピーの下で自明化可能なねじれ投影を区別できるか？
• RQ4 RI および強/弱 RIIs の下で非 Seifert 解消 (A⁻¹) はどのように振る舞い、どのような不変量を生じるか？
• RQ5 1-角形を含まない素ねじれ投影における円配置の構造は何か？ そして、ホモトピー類とどのように関係するか？

主な発見

• 二つのねじれ投影が強 ( respectively 弱 ) (1,2) ホモトープであることと、それらの強 ( respectively 弱 ) 縮約投影が同位的であることとは同値である。
• 不変量 τ(P) は整数値をとる強 (1,2) ホモトピー不変量であり、自明化類を区別する：強 (1,2) ホモトピーの下で自明化可能な非自明な素ねじれ投影の集合と、弱 (1,2) ホモトピーの下で自明化可能な集合とは互いに素である。
• 任意のねじれ投影 P に対して、τ(P) ≤ 2 ならば τ(P) = 1 であり、τ(4₁) = 1 であるため、τ(P) は非自明な投影に対しても非自明であることが示された。
• 任意の円配置 s は、トレイフォイルおよび 6₃ 投影の連結和を用いて構成された素ねじれ投影 P に対して τ(P) = s として実現可能であり、その後に s2a あるいは (1a)(s2a) 操作を適用することで達成される。
• 1-角形を含まない素ねじれ投影（7個の二重点まで）の円不変量の表には、ロールフェン表を用いたフライプ操作によって得られる記号 7_A, 7_B, 7_C が含まれる。
• 表中の 's' または 'w' が付された行は、二つの投影を結ぶ 1a および s2a（または w2a）の列が存在することを示しており、それぞれ強または弱ホモトピー関係を反映している。