[論文レビュー] Strong approximation of density dependent Markov chains on bounded domains

Enrico Bibbona, Roberta Sirovich|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2017

Mathematical Approximation and Integration参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、境界を繰り返し訪問しても有効である、跳躍拡散過程を用いた密度依存マーカフチェーンの強力な近似定理を提示している。これは、古典的拡散近似の主要な限界を克服したものであり、Kurtzの元来の拡散近似と同等の収束速度を達成しながら、吸収境界付近でも精度を保つ。高精度なシミュレーションと一致する、複雑な確率的反応ネットワークの例を通じて検証されている。

ABSTRACT

Density dependent families of Markov chains, such as the stochastic models of mass-action chemical kinetics, converge for large values of the indexing parameter $N$ to deterministic systems of differential equations (Kurtz, 1970). Moreover for moderate $N$ they can be strongly approximated by paths of a diffusion process (Kurtz, 1976). Such an approximation however fails if the state space is bounded (at zero or at a constant maximum level due to conservation of mass) and if the process visits the boundaries with non negligible probability. We present a strong approximation by a jump-diffusion process which is robust to this event. The result is illustrated with a particularly hard case study.

研究の動機と目的

• 状態空間が有界で境界が頻繁に訪問される場合に、古典的拡散近似が失敗する問題に対処すること。
• 複数回の境界通過後も有効である、数学的に厳密な強力な近似手法を構築すること。
• Kurtzの収束結果を、境界に近い領域での確率的現実性を保つ跳躍ダイナミクスを組み込むことで、有界領域に拡張すること。
• 決定論的モデルや標準的拡散近似が失敗する、数値的に困難な反応ネットワークモデルに対して、本手法を検証すること。
• 正確なシミュレーションや制約付きランジュアン方程式の代替として、計算効率が高く精度の高い代替手法を提供すること。

提案手法

• 境界相互作用を飛躍で明示的にモデル化することで、有界領域における密度依存マーカフチェーンへの跳躍拡散過程を強力な近似として提案する。
• 元のジャンプレートから導かれるドリフトおよび拡散係数を用いて、時間変換を施した拡散成分を構築する。
• 状態依存の時間変換と境界通過補正機構を導入し、繰り返し境界に到達しても経路の精度を保つ。
• カップリングフレームワークを用いて、指定された時間枠内での分布が元の過程と一致するように保証する。
• 境界領域での高精度な解像度を確保するため、適応的ステップサイズを用いたEuler-Maruyama離散化を採用し、ゼロ付近の離散化誤差を低減する。
• モンテカルロシミュレーションを用い、高次元かつ二安定性を示す反応ネットワークにおける正確な経路および制約付きランジュアン方程式と比較することで、手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界状態空間の境界を複数回訪問しても有効である、密度依存マーカフチェーンの強力な近似を構築できるか？
• RQ2 提案された跳躍拡散近似は、有界領域においてもKurtzの古典的拡散近似と同等の収束速度を達成するか？
• RQ3 決定論的モデルが失敗し、標準的拡散近似が境界で破綻するような、複雑な二安定反応ネットワークにおいて、近似はどのように性能を発揮するか？
• RQ4 制約付きランジュアン方程式と同等またはそれ以上の精度を達成しながら、理論的解析に適した手法であるか？
• RQ5 離散化近似における境界通過イベントの影響を受けても、精度を維持するための適応的数値戦略は何か？

主な発見

• 提案された跳躍拡散近似は、境界への訪問があってもKurtzの拡散近似と同等の収束速度を達成する。
• 古典的拡散近似が最初の到達時以降に不適切（ill-posed）になるのとは異なり、本手法は複数回の境界通過後も定義され、精度を保つ。
• V=100の3種類の物質からなる二安定反応ネットワークにおいて、跳躍拡散近似は真の過程の経験的分布とよく一致しており、T=100における40%の経路がまだメタ安定状態x₁付近に存在する。
• 400本のシミュレート経路からのヒートマップ散布図では、元の過程、跳躍拡散近似、制約付きランジュアン方程式の間で空間的分布がほぼ同一であることが示された。
• 境界領域における適応的ステップサイズ（最小0.0002）の導入により、離散観測における境界通過の漏れを防ぎ、精度が著しく向上した。
• 決定論的モデルや標準的拡散モデルでは再現できないレアイベント、例えばメタ安定状態間の遷移を、本手法は的確に捉えている。