[論文レビュー] Strong bi-homogeneous Bézout theorem and its use in effective real algebraic geometry

Mohab Safey El Din, Philippe Trébuchet|ArXiv.org|Oct 10, 2006

Polynomial and algebraic computation参考文献 23被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、多項式の次数が最大 $D$ である滑らかな複素代数的多様体上での射影の臨界集合の次数に対する強い二重同次Bézout定理を提示する。この定理により、$D^s(D-1)^{n-s}inom{n}{n-s}$ の境界が得られる。この境界を用いて、滑らかな実代数的集合の各連結成分に少なくとも1点を計算する確率的アルゴリズムを設計し、その最悪ケースの算術的複雑性はこの次数境界と入力の評価コストに関して多項式的であることを示す。

ABSTRACT

Let f1, ..., fs be a polynomial family in Q[X1,..., Xn] (with s less than n) of degree bounded by D. Suppose that f1, ..., fs generates a radical ideal, and defines a smooth algebraic variety V. Consider a projection P. We prove that the degree of the critical locus of P restricted to V is bounded by D^s(D-1)^(n-s) times binomial of n and n-s. This result is obtained in two steps. First the critical points of P restricted to V are characterized as projections of the solutions of Lagrange's system for which a bi-homogeneous structure is exhibited. Secondly we prove a bi-homogeneous Bézout Theorem, which bounds the sum of the degrees of the equidimensional components of the radical of an ideal generated by a bi-homogeneous polynomial family. This result is improved when f1,..., fs is a regular sequence. Moreover, we use Lagrange's system to design an algorithm computing at least one point in each connected component of a smooth real algebraic set. This algorithm generalizes, to the non equidimensional case, the one of Safey El Din and Schost. The evaluation of the output size of this algorithm gives new upper bounds on the first Betti number of a smooth real algebraic set. Finally, we estimate its arithmetic complexity and prove that in the worst cases it is polynomial in n, s, D^s(D-1)^(n-s) and the binomial of n and n-s, and the complexity of evaluation of f1,..., fs.

研究の動機と目的

• 滑らかな複素代数的多様体（多項式の次数が最大 $D$ で定義される）における射影の臨界集合の次数に対するタイトな境界を確立すること。
• 滑らかな実代数的集合の各連結成分に少なくとも1点を計算するアルゴリズムを開発し、従来の等次元の手法を一般化すること。
• 特に非等次元の場合に中間計算における組合せ的爆発を避けるために、複雑性の境界を改善すること。
• 二重同次Bézout境界と入力系の評価コストに関して多項式的依存を示す複雑性解析を提供すること。

提案手法

• 射影の臨界点を、明示的な二重同次構造を持つラグランジュ系の解の射影として特徴付ける。
• 二重同次多項式によって生成されるイデアルの根の等次元成分の次数の和を上限づける強い二重同次Bézout定理を証明する。
• 二重同次構造を用いて、多項式系の解法における中間多様体の次数を抑え、組合せ的爆発を回避する。
• ラグランジュ乗数に基づく確率的アルゴリズムを設計し、実解の各連結成分に少なくとも1点を計算する。
• 幾何的分解と有理関数パラメータ表示を用いて出力を表現し、出力サイズの有界性を保証する。
• 算術的複雑性を解析し、$n$, $s$, 二重同次Bézout境界 $D^s(D-1)^{n-s}\binom{n}{n-s}$, および $f_1,\ldots,f_s$ の評価コストに関して多項式的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな複素代数的多様体（$s$ 個の多項式で定義され、次数が最大 $D$）における射影の臨界集合の次数のタイトな境界は何か？
• RQ2 等次元性の仮定をせず、滑らかな実代数的集合における射影の臨界点を効率的に計算できるか？
• RQ3 ラグランジュ系における二重同次構造をどのように活用すれば、複雑性における組合せ的爆発を回避できるか？
• RQ4 滑らかな実代数的集合の各連結成分に少なくとも1点を計算する最悪ケースの算術的複雑性は何か？
• RQ5 このようなアルゴリズムの出力サイズは、二重同次Bézout境界のような幾何的不変量に関して有界にできるか？

主な発見

• $s$ 個の次数が最大 $D$ の多項式で定義される滑らかな複素代数的多様体上での射影の臨界集合の次数は、$D^s(D-1)^{n-s}\binom{n}{n-s}$ で抑えられる。
• 二重同次Bézout定理は、二重同次多項式によって生成されるイデアルの根の等次元成分の次数の和に対してタイトな境界を与える。
• $(f_1,\ldots,f_s)$ が正則列であるとき、境界は $D^s(D-1)^{n-s}\binom{n-1}{n-s}$ に改善される。
• 提案されたアルゴリズムは、最悪ケースの算術的複雑性が $n$, $s$, 二重同次Bézout境界、および入力多項式の評価コストに関して多項式的である。
• アルゴリズムの出力サイズは、滑らかな実代数的集合の第一ベッチ数に対する新しい、より良い上界をもたらす。
• 従来の方法から等次元性の仮定を除去することで一般化され、かつ以前の手法に見られる組合せ的係数 ${\binom{n}{n-d}}$ を回避する。