[論文レビュー] Strong convergence order for slow-fast McKean-Vlasov stochastic differential equations

Michael Röckner, Xiaobin Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、2つの異なる枠組みにおいて、小引数 ε → 0 の下で、遅い・速い McKean-Vlasov ストキャスティック・ディファレンシャル方程式の強い収束速度を確立している。まず、時間離散化を用いて収束次数 1/3 を得るが、次により強い正則性条件の下でポアソン方程式技法を用いて収束次数を 1/2 に向上させる。一般設定下では、1/2 の収束次数が強い収束において最適である。

ABSTRACT

In this paper, we consider the averaging principle for a class of McKean-Vlasov stochastic differential equations with slow and fast time-scales. Under some proper assumptions on the coefficients, we first prove that the slow component strongly converges to the solution of the corresponding averaged equation with convergence order $1/3$ using the approach of time discretization. Furthermore, under stronger regularity conditions on the coefficients, we use the technique of Poisson equation to improve the order to $1/2$, which is the optimal order of strong convergence in general.

研究の動機と目的

• 小引数 ε → 0 の下で、2時間スケールの McKean-Vlasov SDE の遅い成分の強い収束速度を確立すること。
• 解の法に依存する確率的系、すなわち係数が解の法に依存する方程式のクラスにおける平均化原理を分析すること。
• 係数に関する最小限の正則性仮定およびより強い正則性仮定の下で、このような系における最適な強い収束速度を特定すること。
• 文献におけるギャップを埋めるために、遅い・速い時間スケールを持つ McKean-Vlasov SDE に平均化原理を拡張すること。
• 収束速度を用いて、平均化極限の数値近似に対する定量的誤差評価を提供すること。

提案手法

• 標準的な正則性および発散性条件の下で、Khasminskii の時間離散化アプローチを適用し、遅い成分が平均化方程式に近づく収束次数 1/3 を導出する。
• より強い滑らかさおよびモーメント条件を仮定した下で、ポアソン方程式技法を用いて収束次数を 1/2 に向上させる。
• 速い成分のエルゴディシティおよび指数的混合性の性質を用いて、平均化効果を正当化し、不変測度に関して一様な推定を得る。
• 速い成分が測度変数に関して微分可能であることを確立し、ポアソン方程式の解を用いて平均化されたドリフトの導関数の上界を導出する。
• Malliavin 微積分とカップリング技法を用いて、速い過程の初期条件および法の摂動に対する感度を制御する。
• 平均化されたドリフトおよびその測度変数・空間変数に関する導関数に対して、一様なモーメントバウンドおよびリプシッツ型推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小引数 ε → 0 の下で、遅い・速い McKean-Vlasov SDE の遅い成分の最適な強い収束速度は何か？
• RQ2 係数により強い正則性条件を課した場合、収束次数は 1/3 を超えて向上できるか？
• RQ3 係数が遅い成分の法に依存することは、平均化原理および収束速度にどのように影響するか？
• RQ4 ポアソン方程式技法は、マルチスケール構造を持つ法依存 SDE にどの程度適応可能か？
• RQ5 強い収束において収束次数 1/2 を達成するための係数に関する必要十分条件は何か？

主な発見

• 標準的仮定の下で、時間離散化およびモーメント推定を用いて、遅い成分が平均化方程式に強い収束で収束し、収束次数 1/3 を示す。
• Hölder連続性および係数の有界な微分可能性を含むより強い正則性条件の下で、収束次数は 1/2 に向上し、これは一般の SDE における強い収束において最適である。
• ポアソン方程式技法により、誤差を低減する補正項の構成が可能となり、最適な収束次数が達成される。
• 平均化されたドリフトが測度変数に関して微分可能であり、その導関数が一様なモーメントバウンドを持つ確率的 PDE を満たすことが示された。
• 速い成分は指数的エルゴディシティおよび一様なモーメントバウンドを示し、これらは収束次数の導出および平均化近似の安定性を保証するために不可欠である。
• 収束次数 1/2 は鋭く、与えられた仮定の下ではこれ以上向上できないことが確認され、強い収束の意味で最適性が裏付けられた。