[論文レビュー] Strong convergence rates for numerical approximations of fractional Brownian motion

Philipp Harms|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2019

Financial Risk and Volatility Modeling被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、分数ブラウン運動を近似するための数値的手法を提案し、オーレンシュタイン＝オーレンプ過程の族を用いて、任意の高い多項式収束率を達成する。この手法により、例えば粗いベルゴミモデルのような分数的ボラティリティモデルにおける効率的なモンテカルロシミュレーションが可能になるが、スケーラビリティおよび計算コストにおける根本的な制限が明らかになる。

ABSTRACT

Many fractional processes can be represented as an integral over a family of Ornstein-Uhlenbeck processes. This representation naturally lends itself to numerical discretizations, which are shown in this paper to have strong convergence rates of arbitrarily high polynomial order. This explains the potential, but also some limitations of such representations as the basis of Monte Carlo schemes for fractional volatility models such as the rough Bergomi model.

研究の動機と目的

• 粗いボラティリティモデリングにおける主要なプロセスである分数ブラウン運動を、数値的に効率的かつ正確にシミュレートする手法の開発。
• オーレンシュタイン＝オーレンプ過程を含む積分表現に基づく数値近似の収束特性の分析。
• このような表現を、金融モデルにおけるモンテカルロシミュレーションに適用する際の実用的妥当性および限界の評価。

提案手法

• 分数ブラウン運動を、平均回帰的であるオーレンシュタイン＝オーレンプ過程の族に関する積分として表現する。
• 積分表現に対する数値離散化スキームを適用し、シミュレーションを可能にする。
• 離散化誤差の厳密な解析を通じて、強い収束率を確立する。
• 離散化の精緻化により、収束率を任意に高くできることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オーレンシュタイン＝オーレンプ表現を用いることで、分数ブラウン運動の数値近似が任意の高い多項式収束率に達成可能か。
• RQ2 実際のシナリオにおいて、このようなスキームの収束率は離散化パラメータにどのように依存するか。
• RQ3 粗いボラティリティモデルのモンテカルロシミュレーションにおいて、この表現を用いる際の計算的および実用的限界は何か。

主な発見

• 提案された数値スキームは、任意の高い多項式順序の強い収束率を達成しており、理論的に顕著な利点を有する。
• この手法は、分数ブラウン運動の確率積分表現に基づいており、オーレンシュタイン＝オーレンプ過程の族を用いる。
• 高い収束率であるがゆえに、より高い精度要件に伴い計算コストが増加するため、実用的限界に直面する。
• このアプローチは、例えば粗いベルゴミモデルのような粗いボラティリティモデルにおけるモンテカルロシミュレーションの実用的基盤を提供する。