[論文レビュー] Strong Formulations for Distributionally Robust Chance-Constrained Programs with Left-Hand Side Uncertainty under Wasserstein Ambiguity

Nam Ho-Nguyen, Fatma Kılınç-Karzan+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2020

Risk and Portfolio Optimization参考文献 33被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ワサーライン距離の不確実性の下で左辺の不確実性を伴う分布ロバストなチャンス制約型プログラム（DR-CCP）に対して、強力な混合整数プログラミング定式化を提案する。名目のチャンス制約型プログラムとの関係を活用し、分位数に基づく強化手順を導入することで、元の変数空間において線形個数の有効な不等式と、効率的な分離スキームを導出し、大規模なM係数を著しく削減し、スケーラビリティを向上させた。これにより、従来の手法が失敗する大規模なインスタンスの正確な最適解が可能になった。

ABSTRACT

Distributionally robust chance-constrained programs (DR-CCP) over Wasserstein ambiguity sets exhibit attractive out-of-sample performance and admit big-$M$-based mixed-integer programming (MIP) reformulations with conic constraints. However, the resulting formulations often suffer from scalability issues as sample size increases. To address this shortcoming, we derive stronger formulations that scale well with respect to the sample size. Our focus is on ambiguity sets under the so-called left-hand side (LHS) uncertainty, where the uncertain parameters affect the coefficients of the decision variables in the linear inequalities defining the safety sets. The interaction between the uncertain parameters and the variable coefficients in the safety set definition causes challenges in strengthening the original big-$M$ formulations. By exploiting the connection between nominal chance-constrained programs and DR-CCP, we obtain strong formulations with significant enhancements. In particular, through this connection, we derive a linear number of valid inequalities, which can be immediately added to the formulations to obtain improved formulations in the original space of variables. In addition, we suggest a quantile-based strengthening procedure that allows us to reduce the big-$M$ coefficients drastically. Furthermore, based on this procedure, we propose an exponential class of inequalities that can be separated efficiently within a branch-and-cut framework. The quantile-based strengthening procedure can be expensive. Therefore, for the special case of covering and packing type problems, we identify an efficient scheme to carry out this procedure. We demonstrate the computational efficacy of our proposed formulations on two classes of problems, namely stochastic portfolio optimization and resource planning.

研究の動機と目的

• ワサーライン距離の不確実性の下で左辺の不確実性を伴う分布ロバストなチャンス制約型プログラム（DR-CCP）の、M係数に基づく定式化のスケーラビリティの限界を解消すること。
• サンプルサイズが増加するにつれて計算的に非効率になる既存のM係数に基づく定式化の弱みを克服すること。
• サンプルサイズに応じて効率的にスケーリングされるが、強力な理論的保証を維持する定式化を開発すること。
• 改善されたMIP定式化とカット分離手順を通じて、大規模なDR-CCPインスタンスの正確な最適解を可能にすること。
• 分布的不確実性下でのポートフォリオ最適化とリソース計画における確実なステージング最適化問題の実用的フレームワークを提供すること。

提案手法

• 名目のチャンス制約型プログラムとDR-CCPとの間の関係を導出し、元の変数空間において線形個数の有効な不等式を生成すること。
• MIP定式化におけるM係数を著しく削減する分位数に基づく強化手順を提案すること。
• 分位数に基づく手順から導出される指数的クラスの有効な不等式を導入し、分枝カットフレームワークを用いて効率的に分離すること。
• カバー問題とパッキング問題のための特別な効率的スキームを設計し、分位数に基づく強化手順の高速化を図ること。
• 導出された不等式を動的に分離する分枝カットアルゴリズムを実装し、MIP緩和のタイトニングを図ること。
• ワサーライン距離の不確実性下での最悪確率の双対表現を活用し、強い境界を持つ決定論的MIP再定式化を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワサーライン距離の不確実性の下で左辺の不確実性を伴うDR-CCPに対して、サンプルサイズの増加に伴い良好にスケーリングされる強力な定式化を導出可能か？
• RQ2 既存のMIP定式化におけるM係数を著しく削減することで、計算性能を向上させることは可能か？
• RQ3 名目問題の構造から導出される線形個数の有効な不等式の追加が、定式化の強度に与える影響は何か？
• RQ4 計算可能性を維持しつつ、M係数を効率的に削減できる分位数に基づく強化手順を設計可能か？
• RQ5 指数的クラスの不等式の分離は、解の品質と収束速度の向上にどの程度効果的か？

主な発見

• 提案された改良型定式化は、N=100およびθ=0.009の10インスタンスすべてを最適に解けるが、基本型定式化は時間制限内でいかなるインスタンスの最適解も得られない。
• N=300およびθ=0.009の場合、基本型定式化は最適性ギャップが最大97.08%に達するが、改良型定式化は0%の最適性ギャップを達成する。
• 混合型（Mixing）は、混合不等式を分離することで、N=300、θ=0.0001の場合は最適性ギャップを7.68%から7.55%に、θ=0.001の場合は13.22%から11.88%に削減する。
• θ=0.0001およびN=100の場合、混合型は平均して687.3個の混合不等式を分離し、平均800秒以内に9つのインスタンスを最適に解く。これは改良型より3つ多い。
• N=300、θ=0.0001の場合、混合型のルートギャップは平均10.28%であるが、最適解に到達するインスタンス数（5つ）は改良型（6つ）より少ないため、ギャップ削減と整数性の間にはトレードオフがある。
• 分位数に基づく強化手順は、θが小さい値のときに最も効果的であり、θが増加するにつれて効果の逓減が見られる。計算コストは高いが、適用可能であれば極めて有益である。