[論文レビュー] Strong Ill-posedness of the incompressible Euler equation in borderline Sobolev spaces

Jean Bourgain, Dong Li|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$d=2,3$ の場合に $s_c = d/2 + 1$ である境界付近のソボレフ空間 $H^{s_c}$ における2次元および3次元非圧縮性オイラー方程式の強い不適切性を確立している。滑らかな初期データに対する $H^{s_c}$ ノルムが非常に小さい摂動ですら、任意に小さい時間 $t>0$ において解の $H^{s_c}$ ノルムが無限大に発散する可能性があることを示している。主なメカニズムは、臨界的ノルムの増大を引き起こす大規模なラグランジュ的変形であり、これは境界付近の空間における新しいパッチ型解の構成と、共通項推定を用いて証明された。

ABSTRACT

For the $d$-dimensional incompressible Euler equation, the standard energy method gives local wellposedness for initial velocity in Sobolev space $H^s(\mathbb R^d)$, $s>s_c:=d/2+1$. The borderline case $s=s_c$ was a folklore open problem. In this paper we consider the physical dimensions $d=2,3$ and show that if we perturb any given smooth initial data in $H^{s_c}$ norm, then the corresponding solution can have infinite $H^{s_c}$ norm instantaneously at $t>0$. The constructed solutions are unique and even $C^{\infty}$-smooth in some cases. To prove these results we introduce a new strategy: large Lagrangian deformation induces critical norm inflation. As an application we also settle several closely related open problems.

研究の動機と目的

• 非圧縮性オイラー方程式の境界付近のソボレフ空間 $H^{s_c}$ における長年の未解決問題である適切性について、$d=2,3$ の場合に $s_c = d/2 + 1$ を解消すること。
• 臨界正則性の閾値において標準的なエネルギー法が失敗することを示し、解が任意に小さな摂動によって瞬時に正則性を失う可能性があることを明らかにすること。
• 大規模なラグランジュ的変形に基づく、境界付近のソボレフノルムにおける臨界的ノルム増大を引き起こす新しい解析的戦略を開発すること。
• 臨界および境界付近の関数空間におけるオイラー方程式の適切性理論に関連する類似の未解決問題を解決すること。

提案手法

• 初期データが $H^{s_c}$ ノルムで摂動されても滑らかのまま保たれる、渦度表現におけるパッチ型アンザッツを用いた解の構築。
• 解の $H^{s_c}$ ノルムを $t>0$ で瞬時に増大させるために、大規模なラグランジュ的変形を用いる画期的な戦略。
• 境界付近の空間における非線形項を制御するため、$\|J^s(fg) - fJ^s g\|_p \lesssim \|Df\|_\infty \|J^{s-1}g\|_p + \|J^s f\|_p \|g\|_\infty$ の形の共通項推定を用いる。
• リトルウッド＝パaley射影 $P_N$ を用いた周波数局在化とダイアディック分解により、高周波数におけるノルム増大を特定・推定する。
• 空間的分離と減衰推定のきめ細かな制御を通じて、複数のパッチ解を接合し、初期摂動を小さく保ちながらノルムの爆発を達成する。
• バイオ・サバール則を用いて渦度から速度を回復し、ノルムの増大にもかかわらず解が $C^\infty$-滑らかであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非圧縮性オイラー方程式は、$d=2,3$ の場合に $\mathbb{R}^d$ 上の境界付近のソボレフ空間 $H^{d/2+1}(\mathbb{R}^d)$ で適切か？
• RQ2 滑らかな初期データに対する任意に小さな $H^{s_c}$-ノルム摂動が、有限時間内に解の $H^{s_c}$-ノルムが無限大に発散する可能性をもたらすか？
• RQ3 標準的なエネルギー推定が失敗する臨界正則性領域において、ノルム増大を可能にするメカニズムは何か？
• RQ4 臨界閾値における $L^p$-型およびベゾフ型関数空間において、不適切性は両方の空間で確立可能か？
• RQ5 3次元オイラー方程式における渦度の伸長項は、境界付近の空間における不適切性に寄与するか？その寄与は定量的に評価可能か？

主な発見

• 2次元において、任意の滑らかな初期渦度に対して、$H^{s_c}$ ノルムが非常に小さい摂動が存在し、それに対応する解が任意に小さい時間 $t>0$ で $H^{s_c}$ ノルムが無限大に発散する。
• 構築された解は一意的であり、$H^{s_c}$ ノルムにおける正則性の即時の喪失にもかかわらず、空間的・時間的になんらかの $C^\infty$-滑らかである。
• 3次元において、任意の滑らかな軸対称初期渦度に対して、$L^1 \cap L^\infty \cap B^{3/p}_{p,q}$ で $\epsilon$ 未満の $C^\infty$-摂動が存在し、任意の $t_0>0$ に対して $\operatorname{ess-sup}_{0<t\leq t_0} \|\omega(t,\cdot)\|_{\dot{B}^{3/p}_{p,\infty}} = +\infty$ となる解が得られる。
• ノルムの増大は、初期データが滑らかで compact な台を持つにもかかわらず、高周波成分を増幅させる大規模なラグランジュ的変形に起因する。
• この手法はベゾフ空間 $B^{d/p+1}_{p,1}$ および $B^{3/p}_{p,q}$ にまで拡張可能であり、これらの臨界空間における不適切性に関する未解決問題を解決した。
• 解写像が $H^{s_c}$ で連続でないため、強い不適切性が確立された。これは、解が時間的・空間的に $C^\infty$-滑らかであるにもかかわらず成立する。