[論文レビュー] Strong instability of standing waves for nonlinear Schrödinger equations with a delta potential

Masahito Ohta, Takahiro Yamaguchi|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$L^2$-超臨界非線形性と引力的デルタポテンシャルを有する1次元非線形シュレーディンガー方程式の定常波解の強不安定性（有限時間 blowup）について、十分条件を確立する。変分的アプローチとスケーリング議論を用いて、定常波 $e^{i heta t}Φ_ω$ のエネルギーが正であるならば、初期データの任意の小さな $H^1$-ノルムの摂動が有限時間 blowup を引き起こすことを証明し、$ω > ω_1(p,\gamma)$ のとき強不安定性が成立することを示す。ここで $ω_1$ は非線形固有値方程式により定義される。

ABSTRACT

We study strong instability (instability by blowup) of standing wave solutions for a nonlinear Schrödinger equation with an attractive delta potential and $L^2$-supercritical power nonlinearity in one space dimension. We also compare our sufficient condition on strong instability with some known results on orbital instability.

研究の動機と目的

• 1次元の引力的デルタポテンシャルを有する非線形シュレーディンガー方程式の定常波解の強不安定性（blowup）を解析すること。
• 定常波プロファイルのエネルギー関数 $E(\phi_\omega)$ の符号に基づいた強不安定性の十分条件を確立すること。
• 既存の軌道的不安定性の基準（特に $\partial_\omega \|\phi_\omega\|_{L^2}^2$ および $\partial_\lambda^2 E(\phi_\omega^\lambda)$ at $\lambda=1$）と、新たな強不安定性の十分条件を比較すること。
• 異なる不安定性閾値の関係を明確化すること：$\omega_0(p,\gamma)$（軌道的不安定性）、$\omega_1(p,\gamma)$（強不安定性）、$\omega_2(p,\gamma)$（2階微分条件による不安定性）。

提案手法

• 著者らは、定常波解 $e^{i\omega t}\phi_\omega(x)$ を、方程式 $-\partial_x^2\phi + \omega\phi - \gamma\delta(x)\phi - |\phi|^{p-1}\phi = 0$ の正の解として定義する。
• スケーリング変換 $\phi_\omega^\lambda(x) = \lambda^{1/2}\phi_\omega(\lambda x)$ を導入し、このスケーリング下でのエネルギー $E(\phi_\omega^\lambda)$ と $L^2$-ノルムの振る舞いを分析する。
• 恒等式 $P(\phi_\omega) = 0$ と $E(\phi_\omega) > 0$ を用いて、$\lambda > 1$ で1に近い値に対して $E(\phi_\omega^\lambda) < E(\phi_\omega)$ かつ $K_\omega(\phi_\omega^\lambda) < 0$ であることを示し、$\phi_\omega^\lambda$ が blowup を引き起こす関数の集合 $\mathcal{B}_\omega$ に属することを示す。
• 既知のblowup基準（文献の定理1.6）を適用し、$\mathcal{B}_\omega$ に属する初期データに対して有限時間 blowup が保証されることを示し、スケーリング下での $H^1$-ノルムの連続性を用いて強不安定性を結論づける。
• 証明は、定常波の変分的特徴付けと、$\lambda > 1$ におけるエネルギーの厳密な減少性に依存しており、これは微分 $\partial_\lambda K_\omega(\phi_\omega^\lambda)\big|_{\lambda=1} < 0$ から導かれる。
• 強不安定性の閾値 $\omega_1(p,\gamma)$ を $\omega_0(p,\gamma)$ および $\omega_2(p,\gamma)$ と比較し、$p > 5$ のとき $\omega_0 < \omega_2 < \omega_1$ であることを示し、$\omega > \omega_2(p,\gamma)$ のとき強不安定性が成立するという予想の意味を議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デルタポテンシャルを有する非線形シュレーディンガー方程式の定常波解 $e^{i\omega t}\phi_\omega$ が、任意の小さな摂動に対しても有限時間 blowup を引き起こす（強不安定性を示す）条件は何か？
• RQ2 強不安定性の十分条件 $E(\phi_\omega) > 0$ は、$\partial_\omega \|\phi_\omega\|_{L^2}^2 < 0$ に基づく既知の軌道的不安定性基準とどのように比較できるか？
• RQ3 異なる不安定性基準によって定義される不安定性閾値 $\omega_0(p,\gamma)$, $\omega_1(p,\gamma)$, $\omega_2(p,\gamma)$ の関係は何か？
• RQ4 $\omega_2(p,\gamma)$ が2階微分基準に対応するならば、$\omega > \omega_2(p,\gamma)$ のとき強不安定性が成立すると予想することは可能か？

主な発見

• 定常波解 $e^{i\omega t}\phi_\omega$ は、$E(\phi_\omega) > 0$ である限り、強不安定性を示す。これは $\omega > \omega_1(p,\gamma)$ のとき成立し、ここで $\omega_1(p,\gamma) = \gamma^2 / (4\xi_1(p)^2)$ であり、$\xi_1(p)$ は特定の積分方程式の解である。
• $p > 5$ のとき、強不安定性の閾値 $\omega_1(p,\gamma)$ は $\omega_2(p,\gamma) > \omega_0(p,\gamma)$ を満たし、軌道的不安定性の基準 $\partial_\omega \|\phi_\omega\|_{L^2}^2$ では検出されない場合でも強不安定性が発生しうることを示唆する。
• $E(\phi_\omega) > 0$ は、$\lambda \in (1, \lambda_0)$ の範囲で blowup を引き起こす初期データの族 $\phi_\omega^\lambda$ の存在にとって必要かつ十分である。これは変分的アプローチにより強不安定性が確立されることを示す。
• $p > 5$ のとき、エネルギー基準 $E(\phi_\omega) > 0$ は、2階微分条件 $\partial_\lambda^2 E(\phi_\omega^\lambda)\big|_{\lambda=1} < 0$（$\omega > \omega_2(p,\gamma)$ に対応）よりも強い不安定性閾値を与える。
• 文献[15]における $p=6$, $\gamma=1$, $\omega=4$ の数値的証拠は、理論的結果を支持しており、$\omega_2(6,1) < 4 < \omega_1(6,1)$ であるため、$\omega=4$ は強不安定性が予想される領域に位置し、軌道的不安定性基準では除外されない。