[論文レビュー] Strong instability of standing waves for nonlinear Schrödinger equations with attractive inverse power potential

Noriyoshi Fukaya, Masahito Ohta|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 18被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、基底状態における作用関数の2次変動が非正であるという条件下で、引力的逆べき乗ポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式の定常波解の強い不安定性を確立する。スケーリング論法とバーリル恒等式を用いて、定常波の小さな摂動が有限時間 blow-up を引き起こすことを証明し、既知の調和ポテンシャルに関する結果を逆べき乗ポテンシャルへと拡張する。

ABSTRACT

We study the strong instability of standing waves $e^{iωt}ϕ_ω(x)$ for nonlinear Schrödinger equations with an $L^2$-supercritical nonlinearity and an attractive inverse power potential, where $ω\in\mathbb{R}$ is a frequency, and $ϕ_ω\in H^1(\mathbb{R}^N)$ is a ground state of the corresponding stationary equation. Recently, for nonlinear Schrödinger equations with a harmonic potential, Ohta (2018) proved that if $\partial_λ^2S_ω(ϕ_ω^λ)|_{λ=1}\le0$, then the standing wave is strongly unstable, where $S_ω$ is the action, and $ϕ_ω^λ(x)\mathrel{\mathop:}=λ^{N/2}ϕ_ω(λx)$ is the scaling, which does not change the $L^2$-norm. In this paper, we prove the strong instability under the same assumption as the above-mentioned in inverse power potential case. Our proof is applicable to nonlinear Schrödinger equations with other potentials such as an attractive Dirac delta potential.

研究の動機と目的

• 非線形シュレーディンガー方程式に引力的逆べき乗ポテンシャルを伴う定常波解の強い不安定性を調査すること。
• 従来、調和ポテンシャルに対して確立されていた強い不安定性基準を、逆べき乗ポテンシャルの状況へと拡張すること。
• スケーリングの下での作用関数の振る舞いを分析し、バーリル恒等式を用いて blow-up 条件を導出すること。
• 作用関数の2次変動が非正である場合に、$ H^1 $-ノルムで基底状態に非常に近い初期データが有限時間 blow-up を引き起こすことを証明すること。

提案手法

• 定常波解を $ e^{i heta t} heta_ heta(x) $ と定義し、$ heta_ heta \neq 0 $ が定常方程式 $ -\triangle \theta_ heta + \theta \theta_ heta - \frac{\theta}{|x|^\theta} \theta_\theta - |\theta_\theta|^{p-1} \theta_\theta = 0 $ を満たすものとする。
• 作用関数 $ S_\theta(v) = E(v) + \frac{\theta}{2} \norm{v}_{L^2}^2 $ を導入し、$ E(v) $ をエネルギー関数とする。この関数を用いて、変分的最小化により基底状態を特徴付ける。
• スケーリング $ \theta_\theta^\theta(x) = \theta^{N/2} \theta_\theta(\theta x) $ を適用し、$ L^2 $-ノルムを保存する。2次変動 $ \theta_\theta^2 S_\theta(\theta_\theta^\theta) \big|_{\theta=1} \nleq 0 $ が不安定性の主要条件として機能する。
• バーリル恒等式 $ \frac{d^2}{dt^2} \norm{x u(t)}_{L^2}^2 = 8Q(u(t)) $ を導出し、ここで $ Q(u) $ は作用関数の変動に関連する二次形式である。
• 不等式 $ Q(u(t)) \nleq 16(S_\theta(u(t)) - S_\theta(\theta_\theta)) < 0 $ を用いて、$ \norm{x u(t)}_{L^2} $ が有限時間内に負になることを示し、これにより blow-up が生じることを示す。
• 初期データの列 $ u_0 = \theta_{M_0} \theta_\theta^{\theta_0} $（$ \theta_0 > 1 $）を構成し、$ H^1 $-ノルムで $ \theta_\theta $ に限りなく近いが、有限時間 blow-up を引き起こすようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形シュレーディンガー方程式に引力的逆べき乗ポテンシャルを伴う定常波解 $ e^{i\theta t} \theta_\theta $ が、どのような条件下で強い不安定性を示すか？
• RQ2 従来、調和ポテンシャルに対して知られていた作用関数の2次変動に基づく強い不安定性基準を、逆べき乗ポテンシャルへと拡張できるか？
• RQ3 基底状態のスケーリングが作用関数およびバーリル量 $ Q(u) $ に与える影響は何か？また、これにより解の安定性にどのような意味が生じるか？
• RQ4 条件 $ \theta_\theta^2 S_\theta(\theta_\theta^\theta) \big|_{\theta=1} \nleq 0 $ を満たすとき、基底状態に $ H^1 $-ノルムで任意に近い初期データを構成し、有限時間 blow-up を引き起こすことは可能か？
• RQ5 特異的かつ逆べき乗型のポテンシャルを持つ場合、バーリル恒等式は基底状態近傍の解の blow-up を示すのに有効であるか？

主な発見

• 定常波 $ e^{i\theta t} \theta_\theta $ は、$ \theta_\theta^2 S_\theta(\theta_\theta^\theta) \big|_{\theta=1} \nleq 0 $ を満たす場合に強い不安定性を示す。これは、既知の調和ポテンシャルに関する結果を逆べき乗ポテンシャルへと拡張したものである。
• 証明は、$ \theta_0 > 1 $ である初期データ $ u_0 = \theta_{M_0} \theta_\theta^{\theta_0} $ を構成することに依存し、$ H^1 $-ノルムで $ \theta_\theta $ に限りなく近いが、$ S_\theta(u_0) < S_\theta(\theta_\theta) $ かつ $ Q(u_0) < 0 $ を満たすようにする。
• バーリル恒等式 $ \frac{d^2}{dt^2} \norm{x u(t)}_{L^2}^2 = 8Q(u(t)) \nleq 0 $ が成り立つ場合、解が大域的に存在すると仮定すると矛盾が生じるため、有限時間 blow-up が示される。
• 与えられた条件下で、$ \theta > 1 $ に対して $ S_\theta(\theta_\theta^\theta) $ は厳密に減少するため、$ S_\theta(u_0) < S_\theta(\theta_\theta) $ が保証される。
• $ \theta > 1 $ に対して $ Q(\theta_\theta^\theta) $ は厳密に負であり、バーリル恒等式の負の曲率を引き起こし、結果として blow-up を促進する。
• この結果は、作用関数のスケーリングと変動に依存するため、引力的デルタ関数ポテンシャルなど他のポテンシャルに対しても適用可能であり、ロバストである。