[論文レビュー] Strong instability of standing waves for nonlinear Schr\\"odinger equations with double power nonlinearity

Masahito Ohta, Takahiro Yamaguchi|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、$ \mathbb{R}^N $ 上の二重べき非線形性を有する非線形シュレーディンガー方程式 $ i\partial_t u = -\Delta u - a|u|^{p-1}u - b|u|^{q-1}u $ における定常波解の強い不安定性（有限時刻 blowup）を確立する。ここで $ 1 < p < 1+4/N < q < 2^*-1 $ である。スケーリング論法とバービル恒等式を用いて、十分に大きな周波数 $ \omega $ に対して、基底状態 $ \phi_\omega $ の小さな摂動が有限時刻内に blowup を引き起こすことを証明し、大 $ \omega $ の臨界的状態において安定性が予想されるにもかかわらず、強い不安定性が確認された。

ABSTRACT

We prove strong instability (instability by blowup) of standing waves for some nonlinear Schr\\"odinger equations with double power nonlinearity.

研究の動機と目的

• 非線形項が二重べきである場合、$ 1 < p < 1+4/N < q < 2^*-1 $ かつ $ \omega $ が十分に大きいとき、定常波解が強い不安定性を示すかどうかという未解決問題を解消すること。
• 二重べき非線形性の下で、基底状態 $ \phi_\omega $ の近傍にある初期データに対して、有限時刻 blowup を確立すること。
• 単一べき非線形性における既知の不安定性結果を、臨界的状態における二重べき非線形性へと拡張すること。
• エネルギー関数とネハリ関数の推定を用いて、不安定性の閾値を特定すること。

提案手法

• エネルギー関数 $ E(v) = \frac{1}{2}\|\nabla v\|_{L^2}^2 - \frac{a}{p+1}\|v\|_{L^{p+1}}^{p+1} - \frac{b}{q+1}\|v\|_{L^{q+1}}^{q+1} $ とネハリ関数 $ K_\omega(v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 + \omega\|v\|_{L^2}^2 - a\|v\|_{L^{p+1}}^{p+1} - b\|v\|_{L^{q+1}}^{q+1} $ を定義する。
• バービル恒等式 $ \frac{d^2}{dt^2}\|xu(t)\|_{L^2}^2 = 8P(u(t)) $ を用いる。ここで $ P(v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 - \frac{a\alpha}{p+1}\|v\|_{L^{p+1}}^{p+1} - \frac{b\beta}{q+1}\|v\|_{L^{q+1}}^{q+1} $ であり、$ \alpha = \frac{N}{2}(p-1) $、$ \beta = \frac{N}{2}(q-1) $ である。
• スケーリング関数 $ \phi_\omega^\lambda(x) = \lambda^{N/2}\phi_\omega(\lambda x) $ の族を構成し、$ \lambda > 1 $ のとき $ \phi_\omega^\lambda \in \mathcal{B}_\omega $、すなわち $ K_\omega(\phi_\omega^\lambda) < 0 $ かつ $ E(\phi_\omega^\lambda) < E(\phi_\omega) $ を示す。
• $ \lambda \in (1, \lambda_0) $ のとき $ P(\phi_\omega^\lambda) < 0 $ を証明し、バービル恒等式が blowup を引き起こすことを示す。
• $ H^1 $-ノルムのスケーリング下での連続性を用いて、$ \lambda \to 1^+ $ のとき $ \|\phi_\omega^\lambda - \phi_\omega\|_{H^1} \to 0 $ を示し、小さな摂動が blowup を引き起こすことを保証する。
• $ \omega $ が十分に大きいとき $ E(\phi_\omega) > 0 $ であるという事実を活用し、blowup 議論におけるエネルギー比較に不可欠な条件を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形項が二重べきであるとき、$ 1 < p < 1+4/N < q < 2^*-1 $ かつ $ \omega $ が十分に大きいとき、定常波解 $ e^{i\omega t}\phi_\omega $ は強い不安定性を示すか？
• RQ2 二重べき非線形性の下で、初期データが基底状態に近い場合に、バービル恒等式を用いて有限時刻 blowup を証明できるか？
• RQ3 大 $ \omega $ において、エネルギー関数がスケーリング下で下に有界かつ負定値のままであるか？ これによりバービル法による blowup が可能になるか？
• RQ4 ネハリ関数 $ K_\omega $ は不安定性の閾値を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 $ \omega \to \infty $ のときの $ \|\phi_\omega\|_{L^{p+1}}^{p+1}/\|\phi_\omega\|_{L^{q+1}}^{q+1} $ の漸近的挙動は、不安定性条件にどのように影響するか？

主な発見

• 非線形項が二重べきであるとき、$ 1 < p < 1+4/N < q < 2^*-1 $ ならば、ある $ \omega_1 > 0 $ が存在し、すべての $ \omega > \omega_1 $ に対して定常波 $ e^{i\omega t}\phi_\omega $ は強い不安定性を示す。
• $ \omega > \omega_1 $ に対して $ E(\phi_\omega) > 0 $ である。これは blowup 議論において必須の条件である。
• $ \lambda \in (1, \lambda_0) $ のとき、スケーリング関数 $ \phi_\omega^\lambda $ は $ K_\omega(\phi_\omega^\lambda) < 0 $ かつ $ P(\phi_\omega^\lambda) < 0 $ を満たし、バービル blowup が保証される。
• $ u(0) = \phi_\omega^\lambda $ である初期データを持つ解は、すべての $ \lambda \in (1, \lambda_0) $ に対して有限時刻内に blowup を起こす。これは負のバービル項に起因する。
• $ \lambda \to 1^+ $ のとき $ \|\phi_\omega^\lambda - \phi_\omega\|_{H^1} \to 0 $ であるため、不安定性は強い：任意に小さな摂動が blowup を引き起こす。
• 証明は、$ \omega \to \infty $ のとき $ \|\phi_\omega\|_{L^{p+1}}^{p+1}/\|\phi_\omega\|_{L^{q+1}}^{q+1} \to 0 $ となる漸近的減衰に依存しており、これにより $ q $-非線形項のエネルギー支配が保証される。