[論文レビュー] Strong mixing condition for Hawkes processes and application to Whittle estimation from count data

Félix Cheysson, Gabriel Lang|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2020

Point processes and geometric inequalities参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ポアソンクラスタ構造に基づく定常ハーケス過程の強混合条件（多項式減衰）を確立し、固定区間におけるカウントデータに対するスペクトル的ウィットル推定法を可能にした。この手法により、再生核および平均の一貫性と漸近正規性を持つ推定が得られ、シミュレーションと大規模時間区間における事例研究によって検証された。

ABSTRACT

This paper focuses on the time series generated by the event counts of stationary Hawkes processes. When the exact locations of points are not observed, but only counts over time intervals of fixed size, existing methods of estimation are not applicable. We first establish a strong mixing condition with polynomial decay rate for Hawkes processes, from their Poisson cluster structure. This allows us to propose a spectral approach to the estimation of Hawkes processes, based on Whittle's method, which provides consistent and asymptotically normal estimates under common regularity conditions on their reproduction kernels. Simulated datasets and a case-study illustrate the performances of the estimation, notably of the Hawkes reproduction mean and kernel when time intervals are relatively large.

研究の動機と目的

• 正確なイベント時刻ではなく、固定区間におけるイベントカウントのみが観測される状況におけるハーケス過程の推定手法の欠如に応えること。
• ハーケス過程の背後にあるポアソンクラスタ構造に基づき、多項式減衰を示す強混合条件を確立すること。
• 固定区間のカウントデータに適した、スペクトル的推定法（ウィットルの手法）を考案すること。
• 提案された推定量が再生核および平均に関して一貫性と漸近正規性を有することを保証すること。
• 大規模時間区間においても性能を示すために、シミュレーションと実データ事例研究を通じて手法の有効性を検証すること。

提案手法

• ハーケス過程のポアソンクラスタ表現を活用し、多項式減衰率を示す強混合条件を導出する。
• 固定時間区間におけるカウントデータの周期ogramにウィットル法を適用し、スペクトル密度を推定する。
• スペクトル密度を用いて、乖離を最小化する対比関数を通じて再生核および平均を推定する。
• 推定量の理論的性質を保証するため、再生核に標準的な正則性条件を課す。
• 正確な点過程観測の必要を回避するスペクトル的アプローチを採用し、集計カウントのみに依存する。
• シミュレーションスタディおよび事例研究を通じて、大規模な区間サイズ下でも頑健性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハーケス過程のクラスタ構造を用いて、定常ハーケス過程に対して多項式減衰を示す強混合条件を確立できるか？
• RQ2 固定区間における集計カウントのみが観測される状況でも、ウィットル推定が適用可能で統計的に妥当であるか？
• RQ3 このようなデータ制限下でも、再生核および平均のウィットル推定値は一貫性と漸近正規性を保つのか？
• RQ4 時間区間が相対的に大きい場合、手法の性能はどのように変化するか？
• RQ5 提案手法は実用的状況において、元のハーケス過程のパラメータを効果的に回復できるか？

主な発見

• ポアソンクラスタ表現に基づき、定常ハーケス過程に対して多項式減衰を示す強混合条件が確立された。
• 標準的な正則性条件下で、ウィットル推定法が再生核および平均の一致推定と漸近正規性を達成することが示された。
• 大規模な時間区間においても、シミュレーションおよび事例研究を通じて、手法の有効性が確認された。
• スペクトル的アプローチにより、正確なイベント時刻の観測を回避でき、カウントデータのみから推定が可能となった。
• クラスタ構造を用いた理論的保証が得られ、推定フレームワークの妥当性が裏付けられた。
• 実証的結果により、集計カウントからのハーケス過程パラメータの回復において、手法の頑健性と正確性が確認された。