[論文レビュー] Strong Morita Equivalence of Inverse Semigroups

Benjamin Steinberg|ArXiv.org|Jan 18, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 30被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、逆半群における強いモラータ同値性を導入し、ローソンの拡大の概念を一般化し、強くモラータ同値な逆半群は、普遍的グロイドおよび強くモラータ同値なC*-代数を持つことを確立する。主な貢献は、F-逆半群に関するコシュカムとスカンドリスの結果の新しい証明であり、彼らのC*-代数が可換C*-代数の群による交叉積と強くモラータ同値であることを示している。

ABSTRACT

We introduce strong Morita equivalence for inverse semigroups. This notion encompasses Mark Lawson's concept of enlargement. Strongly Morita equivalent inverse semigroups have Morita equivalent universal groupoids in the sense of Paterson and hence strongly Morita equivalent universal and reduced $C^*$-algebras. As a consequence we obtain a new proof of a result of Khoshkam and Skandalis showing that the $C^*$-algebra of an $F$-inverse semigroup is strongly Morita equivalent to a cross product of a commutative $C^*$-algebra by a group.

研究の動機と目的

• 逆半群における強いモラータ同値性の概念を、ローソンの拡大の概念を一般化する形で開発すること。
• 強いモラータ同値性が、普遍的グロイドおよびC*-代数のモラータ同値性を意味することを確立すること。
• F-逆半群のC*-代数が可換C*-代数の群による交叉積と強くモラータ同値である、コシュカムとスカンドリスの結果の新しい証明を提供すること。
• コホモロジー群や分類トポスといった構造的不変量が強いモラータ同値性のもとで保存されることを示すこと。
• 逆半群の最大の群像が強いモラータ同値類の不変量であることを示すこと。

提案手法

• X が適合する作用と内積を備えた同値バイモジュールである五重組 (S, T, X, ⟨·,·⟩, [·,·]) を用いてモラータの枠組みを定義する。ここで、特定の公理を満たす。
• グラムの芽の群じみの構成を用いて、同値バイモジュールと半群の普遍的グロイドを関連付ける。
• リエフェルの実現バイモジュール枠組みとタールワの半群における強いモラータ同値性を用いて、逆半群レベルでの同値性を定義する。
• 逆半群の普遍的グロイドがエタール群じみであり、群じみのモラータ同値性がそれらのC*-代数の強いモラータ同値性を意味することを活用する。
• 芽の極限構成 (Y = lim→ X) を用いて、最大の群像 G(S) と G(T) が Y 上に自由かつ推移的に作用することを示し、群の同型を導く。
• ある集合上に自由かつ推移的に作用する群の反同型に関する結果を適用し、G(S) ≅ G(T) を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆半群に対して、ローソンの拡大の概念を一般化する強いモラータ同値性の概念を定義できるか？
• RQ2 逆半群の強いモラータ同値性は、それらの普遍的グロイドおよびC*-代数のモラータ同値性を意味するか？
• RQ3 F-逆半群のC*-代数が可換C*-代数の群による交叉積と強くモラータ同値であることは、新しい同値理論を用いて再導出可能か？
• RQ4 コホモロジー群や分類トポスといった構造的不変量は、強いモラータ同値性のもとで保存されるか？
• RQ5 逆半群の最大の群像は、強いモラータ同値類の不変量か？

主な発見

• 逆半群の強いモラータ同値性は、パテルソンの意味でのその普遍的グロイドのモラータ同値性を意味する。
• 強くモラータ同値な逆半群は、その普遍的および還元されたC*-代数についても強くモラータ同値である。
• コシュカムとスカンドリスのF-逆半群に関するC*-代数の結果が、新しい枠組みを用いて再証明された。
• 強いモラータ同値性は、最大の群像の同型型を保存する。S と T が強くモラータ同値ならば G(S) ≅ G(T) である。
• 強くモラータ同値な逆半群の分類トポスは同値であり、したがってそれらのコホモロジー群も同型である。
• F-逆半群であること、および半群のイデアルの半群が有向であるときのE-単位的性質は、強いモラータ同値性のもとで保存される。