[論文レビュー] Strong Solutions of the Fuzzy Linear Systems

Şahin Emrah Amrahov, I. N. Askerzade|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2011

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、パラメトリック表現における鋭い係数行列と任意のファジィ右辺を持つファジィ線形方程式系の強い解の存在および一意性に関する一般化された定理を提案する。従来の研究が対角行列と置換行列の積である係数行列に限定されていたのに対し、新しい定理は係数行列と右辺の両方に依存する必要十分条件を提供しており、単一変数方程式に限らないより広範なクラスのファジィ線形方程式系への応用を可能にする。

ABSTRACT

We consider a fuzzy linear system with crisp coefficient matrix and with an arbitrary fuzzy number in parametric form on the right-hand side. It is known that the well-known existence and uniqueness theorem of a strong fuzzy solution is equivalent to the following: The coefficient matrix is the product of a permutation matrix and a diagonal matrix. This means that this theorem can be applicable only for a special form of linear systems, namely, only when the system consists of equations, each of which has exactly one variable. We prove an existence and uniqueness theorem, which can be use on more general systems. The necessary and sufficient conditions of the theorem are dependent on both the coefficient matrix and the right-hand side. This theorem is a generalization of the well-known existence and uniqueness theorem for the strong solution.

研究の動機と目的

• 係数行列が置換行列と対角行列の積である場合にのみ適用可能な従来の強い解の定理の制限を解消すること。
• 係数行列と右辺の両方に依存する、より一般的な強いファジィ解の存在および一意性条件を構築すること。
• 強い解理論の適用範囲を、1つの式に1つの変数しか含まないシステムに限定されない一般のファジィ線形方程式系へ拡張すること。
• 工学的および計算的応用においてより複雑なファジィ線形方程式系を解くための理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、ファジィ数のパラメトリック表現の概念を用いて、ファジィ線形方程式系の強い解を定義する。
• 係数行列と右辺ベクトルの構造を分析することにより、強い解の存在および一意性の必要十分条件を導出する。
• ファジィ線形方程式系をファジィ数のパラメトリック表現に基づいて区間線形方程式系に変換する手法を用いる。
• 区間演算およびファジィ数演算の性質を用いて解を特徴付ける。
• 行列分解と構造的解析を活用して、古典的な一意性条件を一般化する。
• 形式的な証明を通じて、一般化された存在および一意性定理の理論的枠組みを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 鋭い係数行列と任意のファジィ右辺を持つファジィ線形方程式系に対して、強い解が存在する条件は何か？
• RQ2 1つの式に1つの変数しか含まないシステムに限定されない、古典的な強い解の存在および一意性定理をどのように一般化できるか？
• RQ3 強い解が存在するための係数行列と右辺ベクトルの構造的性質として、必要な十分条件は何か？
• RQ4 強い解の存在条件を、係数行列の対角行列と置換行列の積という構造から独立に定式化できるか？
• RQ5 提案された定理は、より一般的なファジィ線形方程式系への強い解理論の適用範囲をどのように拡張するか？

主な発見

• 提案された定理は、係数行列と右辺ベクトルの両方に依存するように一般化された、古典的な強い解の存在および一意性条件を拡張している。
• 強い解の必要十分条件は、各方程式に正確に1つの変数しか含まないシステムに限定されなくなった。
• 従来の結果よりも広いクラスのファジィ線形方程式系に適用可能であり、変数が相互に依存する系を含む。
• 解の存在条件は、行列の構造とファジィ右辺のパラメータに基づいて定式化されており、体系的な検証が可能である。
• 本手法は、数値的および工学的応用分野における複雑なファジィ線形方程式系の解法に理論的基盤を提供する。