[論文レビュー] Strong solutions to the 3D primitive equations with only horizontal dissipation: near $H^1$ initial data

Chongsheng Cao, Jinkai Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、初期データが $H^1$ および $H^1 \cap L^\infty$ に属し、$π_z v_0 \in L^m$（$m \in (2,\infty)$）を満たす場合に、3次元原始方程式の強解について、局所的および大域的適切性を確立する。この成果は、非等方的ソボレフ不等式および対数型グローワル不等式を用いて達成され、従来の $H^2$ 初期データを必要としていた結果を改善する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the initial-boundary value problem of the three-dimensional primitive equations for oceanic and atmospheric dynamics with only horizontal viscosity and horizontal diffusivity. We establish the local, in time, well-posedness of strong solutions, for any initial data $(v_0, T_0)\in H^1$, by using the local, in space, type energy estimate. We also establish the global well-posedness of strong solutions for this system, with any initial data $(v_0, T_0)\in H^1\cap L^\infty$, such that $\partial_zv_0\in L^m$, for some $m\in(2,\infty)$, by using the logarithmic type anisotropic Sobolev inequality and a logarithmic type Gronwall inequality. This paper improves the previous results obtained in [Cao, C.; Li, J.; Titi, E.S.: Global well-posedness of the 3D primitive equations with only horizontal viscosity and diffusivity, Comm. Pure Appl.Math., Vol. 69 (2016), 1492-1531.], where the initial data $(v_0, T_0)$ was assumed to have $H^2$ regularity.

研究の動機と目的

• 初期データが $H^1$ に属する3次元原始方程式に対して、強解の局所的適切性を確立すること。
• 初期データが $H^1 \cap L^\infty$ に属し、$π_z v_0 \in L^m$（$m \in (2,\infty)$）を満たす場合に、大域的適切性を拡張し、従来の $H^2$ の正則性を要件としていた結果を改善すること。
• 解の成長を制御するために、対数型非等方的ソボレフ不等式および対数型グローワル不等式を発展させ、適用すること。
• 垂直拡散がない状況でも、モデルの物理的妥当性を示すために、大域的解の存在を確認すること。これは、海洋および大気の力学と整合的である。

提案手法

• 局所的な空間的エネルギー推定を用いて、$H^1$ 初期データに対する局所的適切性を証明する。
• 非等方的ソボレフ不等式を用いて、垂直方向の速度勾配を水平方向の微分で制御する。
• 高階ノルムの時間的成長を制御するために、対数型グローワル不等式を適用する。
• 垂直粘性を必要としない原始方程式の構造を活用し、エネルギー推定を導出する。
• 変数変換と重み付き積分を用いて、拡散の非等方的性質に対処する。
• ニュートン型ポテンシャル表現と部分積分を用いて、解の点ごとの境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データが $H^1$ に属する3次元原始方程式に対して、垂直拡散がない場合に強解が局所的に存在することを示せるか？
• RQ2 垂直拡散が存在しない場合に、大域的解の存在を保証するのに十分な初期データの正則性条件は何か？
• RQ3 垂直粘性が存在しない状況で、非等方的ソボレフ不等式をどのようにして解の挙動を制御するために用いることができるか？
• RQ4 この系において、対数型グローワル不等式を用いて $H^1$ 型ノルムの成長を効果的に制御できるか？
• RQ5 初期正則性を $H^2$ から $H^1 \cap L^\infty$ に、垂直微分の弱い可積分性を加えて低減することは可能か？

主な発見

• 局所的な空間的エネルギー推定を用いて、任意の初期データ $(v_0, T_0) \in H^1$ に対して、強解の局所的適切性が確立された。
• 非等方的ソボレフ不等式および対数型グローワル不等式を用いて、初期データ $(v_0, T_0) \in H^1 \cap L^\infty$ かつ $π_z v_0 \in L^m$（$m \in (2,\infty)$）に対して、大域的適切性が証明された。
• 従来の $H^2$ 初期データを要件としていた結果を改善し、$H^1 \cap L^\infty$ に初期データを低くし、垂直微分の弱い制御を加えた。
• 対数型グローワル不等式は、解の $H^1$-ノルムの時間的成長を効果的に制御した。
• 垂直拡散がない状況でも大域的解の存在が示されたため、モデルの物理的整合性が確認された。
• 解析により、強い水平拡散と弱い垂直拡散を伴う系に対して、非等方的推定が有効であることが示された。