[論文レビュー] Strongly Hit and Far Miss Hypertopology and Hit and Strongly Far Miss Hypertopology

James F. Peters, C. Guadagni|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、強近さおよび強遠隔性近似を用いて、正則閉集合の超空間（$\mbox{RCL}(X)$）および空でない閉集合の超空間（$\mbox{CL}(X)$）に、2つの新しい超位相——強く被覆され、遠く離れた（$\tau^\doublewedge_{\mathscr{B}}$）および被覆され、強く遠く離れた（$\tau_{\doublevee,\mathscr{B}}$）——を導入する。主な貢献は、族 $\mathscr{B}$ が正則局所族であるとき、両超位相がハウスドルフ（$T_2$）であることを証明することであり、近似に基づく超位相位相幾何学における基礎的結果を拡張する。

ABSTRACT

This article introduces the {\it strongly hit and far-miss as well as hit and strongly far miss hypertopologies on $ extrm{CL}(X)$ associated with} ${\mathscr{B}}$, a nonempty family of subsets on the topological space $X$. They result from the strong farness and strong nearness proximities. The main results in this paper stem from the Hausdorffness of $( extrm{CL}(X), τ_{\doublevee, \mathscr{B}})$ and $( extrm{RCL}(X), τ^\doublewedge_\mathscr{B} ) $, where $ extrm{RCL}(X)$ is the space of regular closed subsets of $X$. To obtain the results, special local families are introduced.

研究の動機と目的

• 強近さおよび強遠隔性近似を用いて、位相空間の正則閉集合および空でない閉集合の超空間に新しい超位相を定義すること。
• これらの超位相がハウスドルフ（$T_2$）であるための条件を確立し、位相的分離を保証すること。
• 強近さ公理を組み込んだことで、既存の被覆・遠距離位相（例えば、フェル、アトゥック＝ウェーツ）を一般化すること。
• ハウスドルフ性を保証する「正則局所族」という概念を導入・分析すること。
• これらの構成が、正則開／閉集合を備えた空間において、デジタル画像処理や位相的推論に応用可能であることを示すこと。

提案手法

• 正則開集合 $A$ に対して $A^{++} = \{E \in \mbox{RCL}(X) : E \not\delta X\setminus A\}$ で定義される遠距離集合を用い、強近さ近似 $\mathop{\delta}\limits^{\doublewedge}$ を用いて、$\mbox{RCL}(X)$ 上の強被覆・遠距離超位相 $\tau^{\doublewedge}_{\mathscr{B}}$ を定義する。
• 強遠隔性 $\mathop{\not{\delta}}\limits^{\doublevee}$ を用い、空でない交差を伴う正則開集合に基づく被覆集合を用いて、$\mbox{CL}(X)$ 上の被覆・強く遠く離れた超位相 $\tau_{\doublevee,\mathscr{B}}$ を定義する。
• 任意の $x \in X$ 及び $x$ の正則開近傍 $U$ に対して、$x \in \mbox{int}(S) \subseteq S \ll_{\delta} U$ を満たす $S \in \mathscr{B}$ が存在するような、正則局所族 $\mathscr{B}$ の概念を導入する。
• 強包含 $A \ll_{\delta} B$（すなわち $A \not\delta X\setminus B$）を用いて、エフレモヴィチ性質を形式化し、位相における分離を保証する。
• 正則開集合と正則閉集合の間の対応関係 $c(A) = \mbox{cl}(A)$ および $o(F) = \mbox{int}(F)$ を活用し、ラティス構造と位相的一致性を保証する。
• 正則局所族の条件下で、異なる正則閉集合が $\tau^{\doublewedge}_{\mathscr{B}}$ 及び $\tau_{\doublevee,\mathscr{B}}$ において互いに交わりのない開集合によって分離可能であることを示すことにより、ハウスドルフ性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則閉集合の超空間 $\mbox{RCL}(X)$ 上の強被覆・遠距離超位相 $\tau^{\doublewedge}_{\mathscr{B}}$ がハウスドルフであるための条件は何か？
• RQ2 強近さおよび強遠隔性近似は、超位相構成における古典的被覆・遠距離位相をどのように精緻化するか？
• RQ3 新しい超位相のハウスドルフ分離性を保証するため、部分集合族 $\mathscr{B}$ が満たすべき性質は何か？
• RQ4 標準的な位相空間（例：$\mathbb{R}^N$）において正則局所族条件を満たす族は存在するか？ その場合、位相にどのような意味を持つのか？
• RQ5 新しい超位相は、分離性および収束の観点から、フェルやアトゥック＝ウェーツ位相といった古典的位相とどのように関係しているか？

主な発見

• 族 $\mathscr{B}$ が正則局所族である限り、正則閉集合の超空間 $\mbox{RCL}(X)$ 上の強被覆・遠距離超位相 $\tau^{\doublewedge}_{\mathscr{B}}$ はハウスドルフである。
• 同じ正則局所族条件の下で、空でない閉集合の超空間 $\mbox{CL}(X)$ 上の被覆・強く遠く離れた超位相 $\tau_{\doublevee,\mathscr{B}}$ に対してもハウスドルフ性が成立する。
• 任意の正則開集合 $V$ に対して、$V^{\doublewedge} = \{E \in \mbox{RCL}(X) : E \mathop{\delta}\limits^{\doublewedge} V\}$ は $\{E \in \mbox{RCL}(X) : E \cap V \neq \emptyset\}$ と一致する。これは、強近さを標準的位相的交差に結びつける。
• $\mathbb{R}^N$ 内の閉凸集合の族は正則局所族をなす。これは、このような族が一般的な位相空間に存在することを示している。
• 構成により、任意の正則開集合は正則であることが保証され、正則開集合と正則閉集合の間の対応関係がラティス構造を維持するため、位相的一致性が保証される。
• ハウスドルフ性の証明は、強包含 $S \ll_{\delta} U$ に依存しており、エフレモヴィチ性質を介して、近傍が厳密に分離可能であることを保証する。これにより、異なる正則閉集合の分離が可能になる。